Réponse : Bonjour,
Exercice 41
B est l'inverse de A si et seulement si AB=[tex]I_{2}[/tex].
[tex]I_{2}[/tex] est la matrice identité.
[tex]AB=I_{2}\\\left[\begin{array}{cc}2&1\\3&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\2a+c=1\\2b+d=0\\3a+c=0\\3b+d=1\\b=-\frac{d}{2}\\3b+d=1 \Rightarrow -\frac{3}{2}d+d=1 \Rightarrow -\frac{d}{2}=1 \Rightarrow -d=2 \Rightarrow d=-2\\b=-\frac{d}{2}=\frac{2}{2}=1\\3a+c=0 \Rightarrow c=-3a\\2a+c=1 \Rightarrow 2a-3a=1 \Rightarrow -a=1 \Rightarrow a=-1\\c=-3a \Rightarrow c=-3 \times (-1)=3[/tex].
Donc [tex]B=\left[\begin{array}{cc}-1&1\\3&-2\end{array}\right][/tex].
Exercice 42
[tex]AB=I_{2}[/tex], donc B est l'inverse de la matrice A:
[tex]AB=I_{2}\\\left[\begin{array}{ccc}1&2\\3&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\a+2c=1\\b+2d=0\\3a+4c=0\\3b+4d=1\\b+2d=0 \Rightarrow b=-2d\\3b+4d=1 \Rightarrow -6d+4d=1 \Rightarrow -2d=1 \Rightarrow d=-\frac{1}{2}\\b=-2d \Rightarrow b=-2 \times -\frac{1}{2}=1\\ 3a+4c=0 \Rightarrow 3a=-4c \Rightarrow a=-\frac{4}{3}c[/tex].
[tex]a+2c=1 \Rightarrow -\frac{4}{3}c+2c=1 \Rightarrow \frac{-4c+6c}{3}=1 \Rightarrow 2c=3 \Rightarrow c=\frac{3}{2}\\a=-\frac{4}{3}c=-\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}=-2[/tex].
Donc [tex]B=\left[\begin{array}{cc}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right][/tex].