Bonjour ;
1.
f(x) = (- x² + 4x - 2)/(x - 2)² = (- x² + 4x - 4 + 2)/(x - 2)²
= (- (x² - 4x + 4) + 2)/(x - 2)² = (- (x - 2)² + 2)/(x - 2)²
= - 1 + 2/(x - 2)² .
2.
lim(x---> +∞) f(x) = lim(x---> +∞) - 1 + 2/(x - 2)² = - 1
car lim(x---> +∞) 2/(x - 2)² = 0 ; donc Cf admet une asymptote
horizontale au voisinage de + ∞ d'équation y = - 1 .
lim(x---> 2+) f(x) = lim(x---> 2+) - 1 + 2/(x - 2)² = + ∞
car lim(x---> 2+) 2/(x - 2)² = + ∞ ; donc Cf admet une asymptote
verticale d'équation x = 2 .
3.
a.
f ' (x) = (- 1 + 2/(x - 2)²) ' = (- 1) ' + (2(x - 2)^(- 2)) '
= 0 - 4(x - 2)^(- 3) = - 4/(x - 2)³ .
b.
On a x ∈ ] 2 ; + ∞[ , donc x - 2 > 0 , donc (x - 2)³ > 0 ,
donc - 4(x - 2)³ < 0 ,donc f ' (x) < 0 , donc f est strictement
décroissante sur ]2 ; + ∞[ : Pour le tableau de variation ,
veuillez-voir le fichier ci-joint .
4.
On a : f ' (3) = - 4/(3 - 2)³ = - 4/1 = - 4 ;
et f(3) = - 1 + 2/(3 - 2)² = - 1 + 2/1 = - 1 + 2 = 1 .
Si la tangente à Cf au point d'abscisse x = 3 a pour
équation réduite : y = ax + b avec a et b des nombres réels ,
alors "y" vérifie l'équation suivante : f ' (3) = (y - f(3))/(x - 3) ;
donc : - 4 = (y - 1)/(x - 3) ;
donc : - 4x + 12 = y - 1 ;
donc : y = - 4x + 13 .
5.
Cf rencontre l'axe des abscisses aux points de coordonnées
(x ; f(x) = 0) ; donc on doit résoudre d'abord l'équation : f(x) = 0 ;
donc : - 1 + 2/(x - 2)² = 0 ;
donc : 2/(x - 2)² = 1 ;
donc : 2 = (x - 2)² ;
donc : (x - 2)² - 2 = 0 ;
donc : (x - 2)² - (√2)² = 0 ;
donc : (x - 2 - √2)(x - 2 + √2) = ;
donc : x - 2 - √2 = 0 ou x - 2 + √2 = 0 ;
donc : x = 2 + √2 > 2 ou x = 2 - √2 < 2 ;
donc : x = 2 + √2 car x = 2 - √2 ∉ ]2 ; + ∞[ ;
donc Cf rencontre l'axe des abscisses au point de
coordonnées (2 + √2 ; 0) .
6.
Pour le tableau en question , veuillez-voir le fichier ci-joint .
7.
Pour le graphique veuillez-voir le fichier ci-joint .
8.
a.
On a : f(x) = - 1 + 2/(x - 2)² = - 1 + 2(x - 2)^(- 2) ;
donc : F(x) = - x + 2((x - 2)^(- 1))/( - 1) + k avec k ∈ IR
= -x - 2/(x - 2) + k avec k ∈ IR
= (- x² + 2x - 2)/(x - 2) + k avec k ∈ IR
= - (x² - 2x + 2)/(x - 2) + k avec k ∈ IR .
