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Sagot :
Salut !
1)
Applique l'exponentielle des deux côtés :
exp(ln (3x² − x)) = exp(ln x + ln 2)
⇔ 3x² - x = exp(ln x) * exp(ln 2)
⇔ 3x² - x = 2x
⇔ 3x² - 3x = 0
⇔ 3x(x - 1) = 0
⇔ x = 0 ou x = 1
Cependant la fonction ln n'est pas définie en 0, donc x = 0 ne peut pas être une solution. Il faut aussi vérifier que pour x = 1, (3x² - x) > 0. C'est le cas donc x = 1 est l'unique solution de l'équation.
2)
On applique l'exponentielle :
exp(ln (3x² − x − 2)) ≽ exp(ln (6x + 4))
L'inéquation reste dans le même sens car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
⇒ 3x² - x - 2 ≥ 6x + 4
⇔ 3x² - 7x - 6 ≥ 0
On résoud et on trouve x₁ = -2/3 et x₂ = 3
Il faut maintenant vérifier qu'avec ces deux valeurs, on est dans le domaine de définition de ln :
3*(-2/3)² - (-2/3) - 2 = 0 La fonction ln n'est pas définie en 0.
3*3² - 3 - 2 = 22
6*3 + 4 = 22
On en conclut que la seule solution de l'équation est x = 3.
Bonjour ;
1.
L'équation en question est définie si : 3x² - x > 0 et x > 0 ;
donc : si 3x(x - 1/3) > 0 et x > 0 ;
donc si : x ∈ ]- ∞ ; 0[ ∪ ]1/3 ; + ∞ [ et x > 0 ;
donc si : x > 1/3 .
On a : ln(3x² - x) = ln(x) + ln(2)
donc : ln(3x² - x) = ln(2x) ;
donc : 3x² - x = 2x ;
donc : 3x² - 3x = 0 ;
donc : 3x(x - 1) = 0 ;
donc : x = 0 ou x = 1 ;
donc : x = 1 car on a 0 < 1/3 .
2.
L'inéquation est définie si 3x² - x - 2 > 0 et 6x + 4 > 0 .
Étudions le signe de 3x² - x - 2 .
On a : Δ = 1 + 24 = 25 ;
donc on a : x1 = (1 - 5)/6 = - 4/6 = - 2/3 et x2 = (1 + 5)/6 = 6/6 = 1 ;
donc on a 3x² - x - 2 > 0 pour x ∈ ]- ∞ ; - 2/3[ ∪ ]1 ; + ∞ [ .
On a aussi : 6x + 4 > 0 ;
donc : 6x > - 4 ;
donc : x > - 4/6 = - 2/3 .
Conclusion : l'inéquation est définie pour x ∈ ]1 ; + ∞[ .
On a : ln(3x² - x - 2) ≥ ln(6x + 4) ;
donc : 3x² - x - 2 ≥ 6x + 4 ;
donc : 3x² - 7x - 6 ≥ 0 .
Étudions le signe de 3x² - 7x - 6 .
On a : Δ = 47 + 72 = 121 ;
donc : x1 = (7 - 11)/6 = - 4/6 = - 2/3 et x2 = (7 + 11)/6 = 18/6 = 3 ;
donc 3x² - 7x - 6 ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; - 2/3 ] ∪ [ 3 ; + ∞ [ ;
donc comme x ∈ ]1 ; + ∞[ alors l'ensemble des solutions de l'inéquation
est : S = [3 ; + ∞[ .
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