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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
La fct ln(x) est définie sur x∈]0;+inf[ donc il faut :
9-x² > 0 qui est > 0 pour x compris entre les racines car le coeff de x² est négatif.
Les racines de 9-x²=0 sont -3 et 3.
Donc Df=]-3;3[
2)
a)
Quand x tend vers -3 avec x > -3 :
2x+3 tend vers -6+3=-3
9-x² tend vers 0 par valeurs positives donc ln(9-x²) tend vers -inf
lim f(x)=-3-inf=-inf
x--->-3
x > -3
Quand x tend vers 3 avec x < 3 :
2x+3 tend vers 6+3=9
9-x² tend vers 0 par valeurs positives donc ln(9-x²) tend vers -inf.
lim f(x)=9-inf=-inf
x--->3
x < 3
b)
D'après les limites trouvées au 2)a) , Cf admet 2 asymptotes verticales :
x=-3
x=3
3)
a)
La dérivée de ln(u) est u' / u.
Si u=9-x² , alors u '=-2x
Donc la dérivée de ln(9-x²) est -2x/(9-x²)
Donc f '(x)=2 -[2x/(9-x²)]
On réduit au même déno , on développe et on ordonne :
f '(x)=(-2x²-2x+18) / (9-x²)
Sur Df , le déno est positif donc f '(x) est du signe de : -2x²-2x+18 qui est positif entre les racines si elles existent car le signe de x² est négatif.
Δ=b²-4ac=(-2)²-4(-2)(18)=148 > 0
x1=(2+√148)/-4 ≈ -3.5
x2=(2-√148)/-4 ≈ 2.5
En afit on peut simplifier √148 en 2√37 donc tu peux arranger x1 et x2.
f '(x) est donc > 0 pour x ∈ ]-3;x2]
b)
Tableau de variation de f (x) :
x--------->-3....................x2....................+3
f '(x)------>...........+...........0............-..........
f(x)-------->..........C.........?.................D........
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend.
A la place de x2, tu mets sa valeur et peut-être serait-il bien de donner au moins une valeur approchée de f(x2) qui est environ 9. OK ?
4)
y=f '(0)(x-0)+f(0)
Tu dois trouver f(0)=3+ln9=3+2ln3 et f '(0)=2
A la fin équa tgte en x=0 :
y=2x+3+2ln3
5)
a)
D'après le tableau de variation , sur ]-3; x2] , f(x) est continue et strictement croissante passant de valeurs négatives pour x tendant vers -3+ à une valeur positive pour x=x2. Donc d'après le Théorème des valeurs intermédiaires , il existe sur cet intervalle une unique valeur α telle que f(α)=0.
Sur [x2;3[ , f(x) est continue et strictement décroissante passant d'une valeurs positive pour x=x2 à des valeurs négatives quand x tend vers +3-.Donc d'après le Théorème des valeurs intermédiaires , il existe sur cet intervalle une unique valeur β telle que f(β)=0.
f(x)=0 a donc 2 solutions.
b)
α ≈ -2.2 car f(-2.3) ≈ -0.289 et f(-2.2) ≈ 0.02552
β ≈ 2.9 car f(2.9) ≈ 8.2724 mais en fait β est infiniment proche du nombe 3.
c)
Cf semble couper l'axe des x à x=3 qui est une valeur interdite.
6)
Voir pièce jointe.
