1) Faux
Une solution « évidente » de cette équation est le couple (−3 ; 3) car :
5 x (−3)+6x3= 3. Or 18k+3 = −3 ⇔ 18k = −6 ⇔ 3k = −1 et cette équation n’a pas de solution
entière. Ces couples sont bien solutions mais ils ne représentent pas tous les couples solutions.
2) Faux
On a 2012 = 6x335+2, donc 3²⁰¹² = 3^(6x335+2) = 3^(6x335) x 3² = (3⁶)³³⁵ x 3².
3⁶ ≡ 1 [7] donne 3^(6x335) ≡ 1³³⁵ [7] et 3² ≡ 2 [7], d’où par produit :
¡ (3⁶)³³⁵ x 3² ≡ 1 x 2 [7] et finalement
3²⁰¹² ≡ 2 [7]. Le reste est donc égal à 2.
3) Faux
On a zA = 2−i, zB = e^(i π/2) ; zA = izA = i(2−i) = 1+2i.
Enfin zC =
3
2 +
1
2
i.
Soit C′ l’image de O dans similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle − π/2
.
On a par définition :
zO′ −zA =
√2e^(−π/2) ((zO −zA) = −i√2(zO −zA).
D’où : zO′ = zA −i√2(zO −zA) = 2−i−i√2(−2+i) = 2−i+2√2i+
√2 = 2+
√2+i (2√2−1).
4) Vrai
On a ( f ◦ f )(z = (−1+i)(−1+i)z = (1−1−2i)z = −2iz = 2e−π
2 .
On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d’angle −π/2 .
La droite (AB) est donc bien transformée en une droite perpendiculaire.
5) Faux
Dans la similitude directe de centre A, de rapport √2 et d’angle −
π/4
un point M d’affixe z a pour
image le point M′ d’affixe z′ telle que :
z′ −zA =
√2^(e−π/4) (z −zA) ou encore z′ −(2−i) =
√2^(e−π/4) (z −(2−i)).
Donc z′ = 2−i+
√2(cos−π/4 +isin−π/4)(z −2+i).
z′ = 2−i+
√2/2 −i
√2/2)´(z −2+i).
z′ = 2−i+(1−i)(z −2+i).
z′ = 2−i+(1−i)z +(1−i)(−2+i),
soit enfin
z′ = 2−i+(1−i)z −2+i−2i+1
z′ = (1−i)z +1−2i. Ce n’est pas l’écriture proposée.
