Explications étape par étape:
4a) Bon flemme de tracer le triangle, mais autant expliquer comment le construire. Il faut commencer par calculer AB. Par le théorème d'Al Kâshi on a : AB = racine carrée de (AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos (BCA) = racine de (190.25- 190cos(40)) = 6.7 cm environ. Ensuite on se place en B, puis avec le compas on positionne une marque pour BA, puis on se place C pour une autre marque pour CA. Ce qui fournira le triangle voulu.
4b) Il suffit d'utiliser l'équerre, afin d'obtenir 2 angles droits BHC =BHA = 90° (propriété du projeté orthogonal).
5a) L'angle BCA est égal l'angle BCH, car À, C et H sont alignés. Par conséquent, dans le triangle BHC, on a cos BCA = cos BCH = adjacent / hypotenuse = HC/BC d'où HC = BC x cos BCA. Dans ce même triangle, on a sin = opposé / hypotenuse donc sin BCA = HB / BC d' où HB = BC x sin BCA.
6- Dans le triangle ABC, on a AH = AC- HC. Or HC = BC x cos BCA donc AH = AC- BC cos BCA.
7- Dans le triangle AHB rectangle en H, par le théorème de Pythagore on a : AB^2 = AH^2 + HB^2.
7b) Par la question précédente, on trouve :
AB^2 = (AC - BC cos BCA) ^2 + (BC sin BCA) ^2 = AC^2 - 2AC*BC*cos(BCA) + (BC cos BCA) ^2 + (BC sin BCA) ^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC*BC*cos(BCA) car cos^2 + sin ^2 = 1.
On retrouve bien la formule d'Al Kâshi (ouf)
