Réponse : Bonjour,
1) L'équation de la tangente T au point d'abscisse -1 est:
[tex]y=f'(-1)(x+1)+f(-1)\\f'(x)=-4x^{3}+4x+1\\f'(-1)=-4 \times (-1)^{3}+4 \times (-1)+1=4-4+1=1\\f(-1)=-(-1)^{4}+2 \times (-1)^{2}-1=-1+2-1=0\\y=(x+1)+0=x+1[/tex].
L'équation de la tangente T est donc y=x+1.
2) Soit a un réel, alors pour que T soit tangente en un autre point, il faut que:
[tex]f'(a)=1\\-4a^{3}+4a+1=1\\-4a^{3}+4a=1-1\\a(-4a^{2}+4)=0\\a=0 \quad -4a^{2}+4=0\\a=0 \quad 4(1-a^{2})=0\\a=0 \quad 4(1-a)(1+a)=0\\a=0 \quad a=1 \quad a=-1[/tex].
En plus du point d'abscisse -1, f admet des tangentes de coefficient directeur 1, aux points d'abscisses 0 et 1.
Déterminons l'équation de la tangente à f au point d'abscisse 0:
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)\\y=1(x-0)+f(0)\\f(0)=0\\y=x[/tex].
Donc la tangente au point d'abscisse 0 a pour équation y=x, donc ce n'est pas la même équation que T.
Déterminons l'équation de la tangente à f au point d'abscisse 1:
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)\\f'(1)=-4 \times 1^{3}+4 \times 1+1=-4+4+1=1\\f(1)=-1^{4}+2 \times 1^{2}+1=-1+2+1=2\\y=1(x-1)+2\\y=x-1+2=x+1[/tex].
Donc la tangente au point d'abscisse 1 a la même équation que T.
Donc T est aussi tangente à f au point d'abscisse 1.
