Réponse : Bonsoir,
Pour que le pion soit au centre au bout de deux déplacements, les possibilités sont que le pion se déplace d'abord à droite, puis à gauche ou d'abord à gauche puis vers la droite.
On connait la probabilité que le pion aille vers la droite, puisqu'il n'y a que deux possibilités de déplacement, alors la probabilité que le pion aille vers la gauche est [tex]1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}[/tex].
Donc la probabilité p, que le pion soit au centre au bout de deux déplacements est:
[tex]p=\frac{1}{n} \times \frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n} \times \frac{1}{n}=2\left(\frac{1}{n} \times \frac{n-1}{n}\right)=\frac{2(n-1)}{n^{2}}[/tex].
On étudie la limite en +∞, de [tex]\frac{n-1}{n^{2}}[/tex], pour cela, on factorise cette expression par n au numérateur et au dénominateur:
[tex]\frac{n-1}{n^{2}}=\frac{n(1-\frac{1}{n})}{n \times n}=\frac{1-\frac{1}{n}}{n}\\\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{n}=0[/tex].
Donc pour n très grand, la probabilité que le pion soit au centre tend vers 0.
Donc Lauriane a raison d'affirmer "Plus n augmente, plus la probabilité que le pion soit au centre après deux déplacements diminue".
