on sait que
e⁰ = 1 (1) et e^x * e^y = e^(x+y) (2)
démontrer que pour tout naturel n on a la propriété P(n) : (e^a)^n = e^(na)
1) initialisation
si n = 0 alors (e^a)^0 = e^(0*a) = 1 d'après (1)
P(0) est vraie
2) hérédité
on suppose P(n) vraie pour le rang n : (e^a)^n = e^(na)
on démontre qu'elle est vraie
pour le rang n+1 : (e^a)^(n+1) = e^[(n+1)a)]
si P(n) est vraie : (e^a)^n = e^(na)
alors [(e^a)^n]*(e^a) = [e^(na)]*(e^a)
alors (e^a)^(n+1) = e^(na + a)
alors (e^a)^(n+1) = e^(n + 1)a est vraie
P(n+1) est vraie
conclusion
puisque P(0) est vraie et que si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie on en déduit que la propriété est vraie pour tout n
2)
e^2x * (e^-x)^3 = e^2x * e^(-3x) = e^(2x-3x) = e^-x
[(e^x)^2 ]*e = e^2x * e = e^(2x + 1)
