Réponse :
1) faire une figure et conjecturer la nature du quadrilatère ABDC
en plaçant les points A, B , C et D sur le repère orthonormé, si les 4 côtés sont égaux et si les diagonales AD et BC sont aussi égaux alors ABDC est un carré
2) calculer les longueurs AB, BD, CD et AD
AB² = (1 - 2)² + (- 2 - √2)² = 1 + 4 + 4√2 + 2 = 7+4√2 ⇒ AB = √(7+4√2)
BD² = (- 1-√2 - 1)² + (- 1 + 2)² = (- 2 - √2)² + 1 = 7+4√2 ⇒ BD = √(7+4√2)
CD² = (- 1 - √2 + √2)²+(- 1 - (1+√2))² = 1 + (-2 -√2)² = 7+4√2
⇒ CD = √(7+4√2)
AD² = (- 1-√2 -2)²+(-1-√2)² = (- 3-√2)²+(-1-√2)²
= 9 + 6√2 + 2 + 1+2√2 + 2 = 14+8√2 ⇒ AD = √(14+8√2)
3) peut-on alors conclure sur la nature du quadrilatère ABDC
avec les informations obtenues en 1) et 2) on ne peut rien dire sur la nature du quadrilatère ABDC
4) quelles sont les deux longueurs à calculer pour pouvoir conclure
il s'agit des longueurs AC et BC
AC² = (- √2 - 2)²+ (1+√2-√2)² = (-√2-2)²+ 1 = 7+4√2 ⇒ AC = √(7+4√2)
BC² = (- √2 - 1)²+(1+√2+2)² = (-√2 - 1)² + (3+√2)² = 14+8√2
⇒ BC = √(14+8√2)
on a : AB = BD = CD = AC et les diagonales AD = BC
Donc ABDC est un carré
5) déterminer les coordonnées du centre du quadrilatère ABDC
milieu de (AD) : ((2 - 1 - √2)/2 ; (√2 - 1)/2) = ((1 -√2)/2 ; (√2 - 1)/2)
// // (BC) : ((1-√2)/2 ; (- 2+1 +√2)/2) = ((1 -√2)/2 ; (√2 - 1)/2)
donc les diagonales (AD) et (BC) ont le même milieu qui est le centre du carré ABDC
Explications étape par étape
