Réponse:
A l'issue de la question 2 on sait que (Vn) est géométrique de raison ⅓ et de 1er terme V1 = ⅓
3)
On en deduit la forme explicite de Vn est Vn = ⅓(⅓)ⁿ⁻¹
Vn = (⅓)ⁿ
Et d'apres la relation définissant Vn, on a n×Vn = Un
d'où Un = n(⅓)ⁿ pour n≥ 1
4)
Un+1 - Un = (n+1)(⅓)ⁿ⁺¹ - n(⅓)ⁿ
= (n+1)(⅓)ⁿ⁺¹ - n(⅓)ⁿ⁺¹⁻¹
= (⅓)ⁿ⁺¹ [ n+1 - n(⅓)⁻¹]
= (⅓)ⁿ⁺¹ [ n+1 - 3n]
= (⅓)ⁿ⁺¹(1-2n) pour n≥1
n≥1 <=> 2n ≥ 2 <=> -2n ≤ -2 <=> 1-2n ≤ -1 < 0
(⅓)ⁿ⁺¹ > 0
donc (⅓)ⁿ⁺¹(1-2n) < 0 pour n ≥ 1
Un+1 - Un < 0
La suite (Un) est décroissante.
5)
A la calculatrice on trouve :
a) n = 9
b) n = 16
c) (Un) semble tendre vers 0 quand n tend vers +∞
