Réponse :
soit f(x) = 6ln x - 3 x + 4 est définie sur ]0 ; + ∞[
1) calculer la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite
lim f(x) = lim (6ln x - 3 x + 4) = - ∞
x→0 x→0
lim ln x = - ∞ et lim - 3 x = 0
x→0 x→0
l'interprétation graphique de cette limite, signifie que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf
2) montrer que pour tout x de l'intervalle ]0 ; + ∞[ , f '(x) = 3/x)(2 - x)
f(x) = 6ln x - 3 x + 4 ⇒ f '(x) = 6/x - 3 = 3(2/x - 1) ⇔ 3/x(2 - x)
3) étudier le signe de f '(x) puis donner les sens de variation de f
f '(x) = 3/x(2 - x) or x > 0 ⇒ 3/x > 0
étudions le signe de 2 - x
x 0 2 + ∞
2 - x + 0 -
Donc f '(x) > 0 sur l'intervalle ]0 ; 2]
f '(x) < 0 sur l'intervalle [2 ; + ∞[
x 0 2 + ∞
f(x) - ∞ →→→→→→→→→→ 2.16 →→→→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
4) en déduire que la fonction f admet un extremum dont on calculera la valeur exacte
puisque f '(x) s'annule pour x = 2, donc
f(2) = 6ln2 - 6 + 4 = 6ln2 - 2 = 2(3ln2 - 1)
5) déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1
l'équation de la tangente est : y = f(1) + f '(1)(x - 1)
f '(1) = 3/1(2 - 1) = 3
f (1) = 6ln1 - 3 + 4 = 0 - 3+4 = 1
Donc y = 1 + 3(x - 1) = 1 + 3 x - 3 = 3 x - 2
L'équation de la tangente à Cf est : y = 3 x - 2
Explications étape par étape