Réponse:
1)
a.
2ⁿ⁺¹-40(n+1)-20 - (2ⁿ-40n-20) =
2ⁿ⁺¹-2ⁿ-40 =
2ⁿ(2-1)-40=
2ⁿ-40
2ⁿ-40 ≥ 0
2ⁿ≥ 40
n ≥ 6
Un+1 - Un ≥ 0 pour n ≥ 6
La suite (Un) est croissante pour n≥ 6
b.
Si n=9 alors
2ⁿ-40n-20 = 512-380
U₉ = 132
et Un est croissante pour n≥ 6
Donc Un ≥ 0 si n≥ 9.
2
a.
Vn+1 - Vn =
2ⁿ⁺¹ -20(n+1)² - (2ⁿ-20n²) =
2ⁿ⁺¹ - 20(n²+2n+1) -2ⁿ +20n² =
2ⁿ⁺¹ - 20n² -40n -20 - 2ⁿ + 20n² =
2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ -40n - 20 =
2ⁿ(2-1) - 40n -20 =
2ⁿ - 40n - 20 =
Un
b.
D'apres la question 1 Un≥0 si n≥ 9
Donc Vn+1 - Vn ≥ 0 pour n≥ 9
La suite (Vn) est croissante pour tout n≥ 9.
c.
2ⁿ- 20n² ≥ 0
2ⁿ ≥ 20n²
A la calculatrice on a
2¹¹ = 2048 et 20×11² = 2420
2¹² = 4096 et 20×12² = 2880
Vn ≥ 0 pour n ≥ 12
