Réponse:
exercice 1
a.
le taux d'accroissement en a est donné par t(h) =
[tex] \frac{f(a + h) - f(a)}{h} [/tex]
ici, a = 1
On commence par exprimer f(1+h)
f(1+h)=
(1+h)²+2(1+h) =
1+2h+h²+2+2h=
h²+4h+3
puis on calcule f(1)
f(1)=1²+2×1
f(1)=3
On peut donc exprimer le taux d'accroissement
[f(1+h)-f(1)]/h = (h²+4h+3 - 3)/h
[f(1+h)-f(1)]/h = (h²+4h)/h
[f(1+h)-f(1)]/h = h+4
le taux d'accroissement de f au point d'abscisse 1 est h+4
b.
f est derivable si la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 est finie (i.e. est un nombre)
lim(h+4) = 4 (on fait comme si h valait 0)
h→0
Ainsi f est derivable en 1 et f'(1)=4.
exercice 2
on recommence avec g et a=0
g(0+h) = -2/(h+1)
g(0) = -2/(0+1) = -2
[g(0+h)-g(0)]/h = [-2/(h+1) - (-2) ]/h
[g(0+h)-g(0)]/h = [(-2+2(h+1))/(h+1)]/h
Pour y voir plus clair dans ces fractions on a ceci :
[tex] \frac{ \frac{ - 2 + 2(h + 1)}{h + 1} }{h} = \frac{2h}{h(h + 1)} = \frac{2}{h + 1} [/tex]
Le taux d'accroissement de la fonction g en 0 est 2/(h+1)
b.
lim(2/(h+1)) = 2
h→0
Donc g est derivable en 0 et g'(0)=2
