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Quel est le reste de la division euclidienne de n² + 1 par n + 1 ?
rappel : la division euclidienne de a par b
a = b x q + r avec r < b
ici on doit trouver q et r tels que :
n² + 1 = (n + 1 ) x q + r avec r < n + 1
or n² + 1 = n² - 1 + 2 on factorise n² - 1 d'où
n² + 1 = (n + 1)(n - 1) + 2
a = b x q + 2
expression qui indique que le quotient de n² + 1 par n + 1 est n - 1
le reste est 2
ceci à condition que 2 < n + 1 (reste inférieur au diviseur)
c'est à dire n > 1
énoncé : n est un entier naturel non nul
si n = 1 : n² + 1 vaut 2 ; n + 1 vaut 2
le quotient de 2 par 2 est 1, le reste est 0
à partir de n = 2 le reste 2 est inférieur à n + 1
réponse
le reste de la division de n² + 1 par n + 1 est égal à 0 si n = 1
" " " " 2 si n > 1