Réponse:
Bonjour
1a. figure en photo
1b.
CD = 2AB (égalité vectorielle) donc ABCD est un trapèze.
1c.
AB (-2-2; 4-2)
AB(-4; 2)
2AB(-8;4)
et
CD(x-3; y+4)
or
CD = 2AB <=>
{x-3=-8
{y+4 = 4
{x= -5
{y=0
les coordonnées de de D sont D(-5; 0).
2a.
d : 6x+y-14 = 0
Un point appartient à la droite d si ses coordonnées verifient l'equation de la droite.
A(2; 2)
6×2+2-14 = 12+2-14 = 0
A appartient à d.
C(3; -4)
6×3-4-14 = 18 -4 - 14 = 0
C appartient à d
2b.
Un vecteur directeur de (BD) est BD⃗(-5+2; 0-4)
BD⃗(-3;-4)
Une equation cartesienne de (BD) est de la forme
-4x+3y+c=0
D appartient à (BD)
-4×(-5)+3×0+c=0
20+c =0
c=-20
Une equation cartesienne de (BD) est -4x+3y-20=0
2c)
Un vecteur directeur de (BD) est BD⃗(-3; -4)
Un vecteur directeur de (AC) est AC⃗ (-1; 6)
Calculons le critere de colinearité ( i.e. le determinant)
-3×6-(-1)×(-4) =18-4 = 14
Le critère de colinearité n'est pas nul donc BD et AC ne sont pas colineaires.
Les droites (AC) et (BD) sont donc sécantes.
2d.
On resout le systeme suivant:
{6x+y-14=0 ×(-3)
{-4x+3y-20=0 <=>
{-18x-3y+42=0
{-4x+3y-20=0
Par combinaison L1+L2 on obtient
-22x+22= 0
x = 1
{6x+y-14=0 ×2
{-4x+3y-20=0 ×3 <=>
{12x+2y-28=0
{-12x+9y-60=0
Par combinaison L1+L2 on obtient
11y - 88 =0
y = 0
Les coordonnées de E sont E(1; 8)
3a
xK = (xA+xB)/2
xK = (2-2)/2
xK = 0
yK = (yA+yB)/2
yK = (2+4)/2
yK = 6/2
yK = 3
K(0; 3)
de meme
xL = (xC+xD)/2
xL = ( 3-5)/2
xL = -1
yL = (-4+0)/2
yL = -2
L(-1; -2)
3b
Calculons les coordonnées des vecteurs EK et EL
EK(0-1; 3-8)
EK(-1; -5)
EL(-1-1; -2-8)
EL ( -2; -10)
On a EL = 2 EK
Les vecteurs EK et EL sont colinéaires donc les points E, K et L sont alignés.
4a.
Pour (AD)
AD(-5-2; 0-2)
AD(-7; -2)
AD est un vecteur directeur de (AD) et A appartient à (AD)
2x-7y+c=0
2×2-7×2+c =0
4-14+c = 0
c = 10
Une equation cartesienne de (AD) est 2x-7y+10=0
Pour (BC)
BC(3+2; -4-4)
BC(5;-8)
BC est vecteur directeur de (BC) et B appartient à (BC)
-8x-5y+c =0
-8(-2)-5×4+c=0
16-20+c =0
c=4
Une equation cartesienne de (BC) est -8x-5y+4=0
4b.
on resout le systeme
{2x-7y+10=0 ×(4)
{-8x-5y+4=0
{8x-28y+40=0
{-8x-5y+4=0
Par combinaison L1+L2
-33y+44=0
y=4/3
2x-7×4/3 + 10= 0
2x -28/3 +10 =0
x =- 1/3
F(-1/3; 4/3)
4c.
EF(-1/3 - 1; 4/3 - 8)
EF(-4/3 ; -20/3)
EF = 4/3 × EK
E, K, et L sont alignés.
EF et EK sont colineaires donc les points E, F, K et L sont alignés.
