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Réponse :
Explications étape par étape
1) Nous allons faire l'intégration par parties:
[tex]\displaystyle I_1 = \int \underbrace{(x+1)^2}_{u}\overbrace{e^{-x}\,dx}^{dv}\Longrightarrow \begin{cases}u=(x+1)^2\rightarrow du=2(x+1)dx\\dv=e^{-x}dx\rightarrow v=-e^{-x}\end{cases}\\\\\\\\I_1=uv-\int v\,du=(x+1)^2\cdot (-e^{x})-\int(-e^{-x}\cdot2(x+1)\,dx\\\\I_1=-(x+1)^2e^{-x}+2\underbrace{\int (x+1) e^{-x}\,dx}_{I_2}[/tex]
On peut faire la même chose en I₂:
[tex]\displaystyle I_2=\int \underbrace{(x+1)}_{u} \overbrace{e^{-x}\,dx}^{dv}\Longrightarrow \begin{cases}u=(x+1)\rightarrow du=dx\\dv=e^{-x}dx\rightarrow v=-e^{-x}\end{cases}\\\\\\I_2=uv-\int v\,du=(x+1)\cdot (-e^{-x})-\int (-e^{-x})dx\\\\I_2=-(x+1)e^{-x}+\int e^{-x}dx\\\\I_2=-(x+1)e^{-x}+(-e^{x})+C_0\\\\\boxed{I_2=-(x+2)e^{-x}+C_0}[/tex]
Il est maintenant possible de calculer I₁:
[tex]I_1=-(x+1)^2e^{-x}+2I_2\\\\I_1=-(x+1)^2e^{-x}+2\cdot[-(x+2)e^{-x}+C_0]\\\\I_1=-(x^2+2x+1)e^{-x}-(2x+4)e^{-x}+2C_0\\\\\boxed{I_1=-(x^2+4x+5)e^{-x}+C}[/tex]
Où C=2C₀. Donc,
[tex]\displaystyle I=\int_0^2(x+1)^2e^{-x}\,dx\\\\I=\left[-(x^2+4x+5)e^{-x}+C}\right]^2_0\\\\I=[-(2^2+4\cdot2+5)e^{-2}+C}]-[-(0^2+4\cdot0+5)e^{-0}+C}]\\\\I=[-(4+8+5)e^{-2}+C}]-[-(0+0+5)\cdot1+C}]\\\\\boxed{\boxed{I=-17e^{-2}+5}}[/tex]
2) Pour le Théorème de la moyenne:
[tex]\displaystyle M=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\\\\M=\dfrac{1}{2-0}\int_0^2g(x)\,dx\\\\M=\dfrac{1}{2}\int_0^2[(x+1)^2e^{-x}-1]\,dx\\\\M=\dfrac{1}{2}\underbrace{\int_0^2(x+1)^2e^{-x}}_{I}-\dfrac{1}{2}\int_0^2\,dx\\\\M=\dfrac{1}{2}I-\dfrac{1}{2}\left[x\right]^2_0\\\\M=\dfrac{1}{2}\cdot (-17e^{-2}+5)-\dfrac{1}{2}(2-0)\\\\M=-\dfrac{17}{2}e^{-2}+\dfrac{5}{2}-1\\\\\boxed{\boxed{M=-\dfrac{17}{2}e^{-2}+\dfrac{3}{2}}}[/tex]