Réponse :
Explications étape par étape
1) g(x) est la somme de deux fonctions:
(1/4)x fonction affine dérivable sur R et
2/(2x+3) fonction quotient qui n'est pas définie pour x=-3/2 donc pas dérivable pour cette valeur
g(x) est dérivable sur R-{-3/2}( on prend le domaine le plus restrictif)
Dérivée
La dérivée de (1/4)x est 1/4.
la dérivée de 2/(2x+3) forme u/v donc dérivée (u'v-v'u)/v²
soit [0*(2x+3)-2*2]/(2x+3)²=-4/(2x+3)²
g'(x)=1/4-4/(2x+3)²=[(2x+3)²-16]/4(2x+3)²=(4x²+12x+9-16)/4(2x+3)²
on simplifie par 4 donc g'(x)=(x²+3x-7/4)/(2x+3)²
On note que le signe de cette dérivée g'(x) dépend uniquement du signe de x²+3x-7/4
il reste à étudier le signe de ce polynome du second degré
delta=9+7=16
x²+3x-7/4=0 pour x1=(-3-4)/2=-7/2 et x2=(-3+4)/2=1/2
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo -7/2 -3/2 1/2 +oo
g'(x)........+............0.......-.......................-.............0........+...............
g(x)-oo....C.....g(-7/2).....D....-ooII+oo...D....g(1/2).....C...........+oo
Calcule g(-7/2) et g(1/2)
C=croissante; D=décroissante
II= valeur interdite et asymptote verticale x=-3/2
En ce qui concerne les limites pour compléter le tableau
si x tend vers -oo, g(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, g(x) tend vers+oo
si x tend vers -3/2 (avec x<-3/2) g(x) tend vers-oo
si x tend vers -3/2 (avec x>-3/2) g(x) tend vers +oo
