Réponse:
Bonjour
Partie A
1.
t1 = (4to+2)/(to+5)
t1 = (4×3+2)/(3+5)
t1 = 14/8
t1 = 7/4
2.
φ est dérivable comme fonction rationnelle sur [0;5]
φ'(x) = [4(x+5)-1(4x+2)]/(x-5)²
φ'(x) = 18/(x-5)²
φ'(x) > 0 sur [0;5] donc φ(x) est strictement croissante sur [0;5]
3. Soit P(n) la propriété 1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3
Initialisation
to = 3 et t1= 7/4
ainsi 1 ≤ t1 ≤ to ≤ 3
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité :
Supposons P(n) vraie pour un entier naturel n ≥0
1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3
Par croissance de la fonction φ sur [0;5] l'ordre se conserve entre 2 nombres et leurs images.
Ainsi
φ(1) ≤ φ(tn+1) ≤ φ(tn) ≤ φ(3)
1 ≤ tn+2 ≤ tn+1 ≤ 7/4
donc
1 ≤ tn+2 ≤ tn+1 ≤ 3
P(n+1) est vraie.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est hereditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.
1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3 pour tout entier naturel n.
4.
D'après la question précédente tn+1 ≤ tn donc la suite (tn) est décroissante.
D'après la question précédente, 1 ≤ tn .
Ainsi la suite (tn) est decroissante et minorée par 1.
D'apres la propriété de convergence des suites monotones, la suite (tn) converge.
Soit l la.limite de (tn)
lim(tn+1) = lim(tn) = l
n→+∞ n→+∞
φ(l) = l
(4l+2)/(l+5)=l
4l+2= l(l+5)
l²+5l-4l-2=0
l²+l-2 = 0
∆= 9
l1 = -2
l2 = 1
l1 n'appartient pas à [1;3]
donc
lim(tn) = 1
n→+∞
Partie B
1.
1-rn+1 = 1 - (4rn + 2)/(rn + 5)
= (rn + 5 - 4rn -2) / (rn + 5)
= (-3rn+3)/(rn + 5)
= [ 3/(rn + 5) ] × (1 - rn)
2.
Soit P(n) la propriété 0 ≤ 1 - rn ≤ (3/5)ⁿ
Initialisation
ro = 0,01
1 - ro = 0,99
(3/5)⁰ = 1
0 ≤ 1-ro ≤ (3/5)⁰
La propriété est vraie au rang 0
Heredité
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel n ≥0
0 ≤ 1 - rn ≤ (3/5)ⁿ
rn > 0 donc 3/(rn+5) > 0
0×3/(rn+5) ≤ (1 - rn )×3/(rn+5) ≤ (3/5)ⁿ×3/(rn+5)
0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ×3/(rn+5)
de plus
rn+5 > 5
0 < 1/(rn+5)< 1/5
0 < 3/(rn+5) < 3/5
0 < (3/5)ⁿ×3/(rn+5) < (3/5)ⁿ×(3/5)
0 < (3/5)ⁿ×3/(rn+5) < (3/5)ⁿ⁺¹
donc
0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ⁺¹
P(n+1) est vraie
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc 0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ⁺¹ pour tout entier naturel n.
3.
lim(0) = 0
n→+∞
lim(3/5)ⁿ = 0 avec 0< q < 1
n→+∞
donc d'apres le théorème des gendarmes
lim(1 - rn) = 0
n→+∞
ainsi
lim(rn)=1
n→+∞
La suite (rn) converge et sa limite vaut 1.
4. L'algorithme cherche et affiche le rang N pour lequel (3/5)ⁿ se rapproche de 0 a 10-³ pres or
0 < 1 - rn < (3/5)ⁿ
0 < lim(1-rn) < lim(3/5)ⁿ
n→+∞ n→+∞
Quand (3/5)ⁿ tend vers 0, la suite (rn) tend vers 1