Bonjour ;
a.
∀ x ∈ IR* ; f(x) = (x² - 2x + 1)/x = x - 2 + 1/x ;
donc f ' (x) = (x - 2 + 1/x) ' = (x) ' - (2) ' + (1/x) '
= 1 - 0 - 1/x² = 1 - 1/x² = (x² - 1)/x² .
On a : f ' (x) = 0 ;
donc : (x² - 1)/x² = 0 ;
donc : x² - 1 = 0 ;
donc : (x - 1)(x + 1) = 0 ;
donc : x - 1 = 0 ou x + 1 = 0 ;
donc : x = 1 ou x = - 1 ;
donc C admet des tangentes horizontales aux
points d'abscisses x = 1 ou x = - 1 .
Comme on a : f(1) = 0 et f(- 1) = - 4 ; donc C admet
des tangentes horizontales aux points A(1 ; 0) et B(- 1 ; - 4) .
b.
On a f ' (x) = 2 ;
donc : (x² - 1)/x² = 2 ;
donc : x² - 1 = 2x² ;
donc : x² = - 1 , ce qui absurde ;
donc il n'existe aucun point de la courbe C
où la tangente admet un coefficient directeur
égal à 2 .
c.
La tangente au point considérée de C ayant pour abscisse
x0 est parallèle à la droite d'équation y = - 3x + 3 ; donc le
coefficient directeur de cette tangente est - 3 ; donc f ' (x0) = - 3 .
Résolvons donc l'équation : f ' (x) = - 3 .
f ' (x) = - 3 ;
donc : (x² - 1)/x² = - 3 ;
donc : x² - 1 = - 3x² ;
donc : 4x² - 1 = 0 ;
donc : (2x)² - 1² = 0 ;
donc : (2x - 1)(2x + 1) = 0 ;
donc : 2x - 1 = 0 ou 2x + 1 = 0 ;
donc : x = 1/2 ou x = - 1/2 ;
donc les abscisses des points recherchés
sont x = 1/2 et x = - 1/2 .
Soit
