Réponse :
étudier le sens de variation de la suite (bn) définie pour tout entier naturel n
par : bn = n²/(n+1)
soit bn = f(n) ; f(x) = x²/(x + 1) définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[
f '(x) = (2 x(x +1) - x²)/(x + 1)²
= (2 x² + 2 x - x²)/(x+1)²
= (x² + 2 x)/(x + 1)² or (x + 1)² > 0
comme x ≥ 0 ⇔ x + 2 ≥ 2 ⇔ x + 2 ≥ 0 donc x(x+2) ≥ 0
puisque f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [0 ; + ∞[ donc f(x) est croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞[ , on en déduit donc que la suite (bn) est croissante sur N
Explications étape par étape
