Bonjour,
1) a) [tex]\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\\\\\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0[/tex]
D'où [tex]\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty[/tex]
b) [tex]g'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{3}[/tex]
g'(x) > 0 comme somme de deux exponentielles strictement positives divisée par 3 > 0.
Donc, la fonction g est croissante sur [0;+inf[
c) Graphique en pièce jointe.
d) Par lecture graphique, une solution de l'équation g(x) = x est λ ≈ 1,6.
2) [tex]EF = f(1) - f(0)\\\\EF=\dfrac{e^{\lambda\times1}+e^{-\lambda\times1}}{2\lambda}-\dfrac{e^{\lambda\times0}+e^{-\lambda\times0}}{2\lambda}\\\\EF=\dfrac{e^{\lambda}+e^{-\lambda}}{2\lambda}-\dfrac{1+1}{2\lambda}\\\\EF=\dfrac{e^{\lambda}+e^{-\lambda}-2}{2\lambda}[/tex]
3) [tex]EF=\dfrac{e^{1,6}+e^{-1.6}-2}{2\times1,6}\approx 0,9859[/tex]
EF vaut environ 1 mètre (arrondi au dixième près)
