Réponse :
Soit l'application [tex]f :[0 ; 15] &\rightarrow& [0 ; 1,25]\\ t &\mapsto& (0,5t + 1,25)e^{-0,4t}[/tex]
2. a) l'instant initial correspond à t = 0, d'où :
f(0) = (0,5 * 0 + 1,25)e(-0,4 * 0) = 1,25e(0) = 1,25 * 1 = 1,25 cette valeur est vérifiable graphiquement.
b) On doit pour cela déterminer les signes de sa dérivée. f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. On a donc :
f'(t) = (u*v)' = u'v + uv' avec u = 0,5t + 1,25 et v= e(-0,4t) d'où :
f'(t) = 0,5*e(-0,4t) + (0,5t + 1,25)*(-0,4)e(-0,4t) = 0,5e(-0,4t)- 0,5e(-0,4t) - 0,20e(-0,4t) On factorise par l'exponentielle et cela donne : (0,5 - 0,20t - 0,5)e(-0,4t) = -0,2t*e(-0,4t)
Or puisque e(-0,4t) est strictement positif d'une part et que -0,2t est strictement négatif cette dérivée est donc toujours négative sur [0;15] comme elle est de signe négatif, f est par conséquent décroissant sur cet intervalle.
c) La fonction f est strictement décroissante sur [0;15] donc chaque image n'admet qu'un seul et unique antécédent sur cet intervalle et donc il n'existe qu'une seule et unique solution alpha pour f(x) = 0,1. [A déterminer graphiquement]
d) 10h et 30 min correspondent au décimal 10,5 = t. Donc calculer f(10,5) = cela devrait donner 6,5*e(-4,2) avec e(-4,2) = 0,01499... donc f(10,5) ~ 0,097 ~ 0,1 g/l et en conclusion le médicament est toujours actif dix heures après puisque sa concentration n'est pas nulle.