Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Si tu voulais une réponse pour hier soir, il est un peu tard !!
1)
a)
g est dérivable car somme de fonctions dérivables.
g '(x)=6x²-6x
b)
g '(x)=6x(x-1)
g '(x) est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est > 0. Les racines sont :
x1=0 et x2=1
Variation :
x---------------->0......................1.........................3
g '(x)----------->.............-............0..........+..............
g(x)----------->-1...........D............-2...............C.....26
D=flèche qui descend
C=flèche qui monte.
c)
Sur [0;1] , g(x) est continue et strictement décroissante , passant de la valeur -1 pour x=0 à la valeur -2 pour x=1. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il n'existe pas de réel α sur cet intervalle tel que g(α)=0.
Sur [1;3] , g(x) est continue et strictement croissante , passant de la valeur -2 pour x=1 à la valeur 26 pour x=3. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α sur cet intervalle tel que g(α)=0.
g(1)=-2 < 0
g(2)=3 > 0
g(1.6)=-0.488 < 0
g(1.7)=0.156 > 0
Donc α ≈ 1.7
d)
Tableau de signes :
On a vu que g(x) < 0 pour x ∈ [0;α] et > 0 ensuite.
Tableau de signes :
x--------->0..................................α................................3
g(x)----->....................-.................0................+................
2)
a)
f(x) est dérivable sur [0;3] comme quotient de fcts définies et dérivables sur cet intervalle.
f est de la forme u/v avec :
u=1-x donc u '=-1
v=x³+1 donc v '=3x²
f '(x)=(u'v-uv')/v²=[-(x³+1)-3x²(1-x)] / (x³+1)²
Tu développes le numé et ça donne :
f '(x)=(2x³-3x²-1) / (x³+1)²
f '(x)=g(x) / (x³+1)²
b)
f '(x) est donc du signe de g(x) car le déno est > 0.
x--------->0..............................α............................3
f '(x)------>.................-..............0.................+...........
f(x)------->.....................D.........?...................C......
D=flèche qui descend
C=flèche qui monte .
Tu calcules f(0) ; f(1.7) et f(3).
