Bonjour ;
Niveau 1 .
1.
Un bénéfice de 10000€ correspond à B(x) = 1 ;
donc on résout l'équation : B(x) = 1 ;
donc : - 1/(x + 0,5) + 2 = 1 ;
donc : - 1/(x + 0,5) = - 1 ;
donc : 1/(x + 0,5) = 1 ;
donc : 1 = x + 0,5 ;
donc : x = 0,5 ;
donc le nombre de lunettes correspondant est 0,5 * 100 = 50 .
2.
D'après le fichier ci-joint , la fonction B est strictement croissante
sur [0 ; 5] .
3.
La fonction B est strictement croissante sur [0 ; 5] , donc
le bénéfice maximal correspond à B(5) .
On a : B(5) = - 1/(5 + 0,5) + 2 = - 1/5,5 + 2 ≈ 1,8182 ;
donc le bénéfice maximal est : 1,8182 * 10000 = 18182 € .
Niveau 2 .
1.
B(b) - B(a) = - 1/(b + 0,5) + 2 + 1/(a + 0,5) - 2
= 1/(a + 0,5) - 1/(b + 0,5)
= (b + 0,5 - a - 0,5)/((b + 0,5)(a + 0,5))
= (b - a)/((b + 0,5)(a + 0,5)) .
2.
On a pour tous a et b appartenant à [0 ; 5]
avec a ≠ b : B(b) - B(a) = (b - a)/((b + 0,5)(a + 0,5)) ;
donc : (B(b) - B(a))/(b - a) = 1((b + 0,5)(a + 0,5)) > 0 ;
donc la fonction B est strictement croissante sur [0 ; 5] .
