Réponse :
2) K milieu de (AC) ⇒ K((-4+4)/2 ; 1/2) = K(0 ; 1/2)
3) soit D(x ; y) et K milieu de (BD) ⇒ K((x+2)/2 ; (y+4)/2)
donc (x+2)/2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2
(y + 4)/2 = 1/2 ⇔ y + 4 = 1 ⇔ y = - 3
les coordonnées de D(- 2 ; - 3)
4) puisque les diagonales (AC) et (BD) ont le même milieu K donc
ABCD est un parallélogramme
5) AB² = (2 - 4)²+ 4² = 4 + 16 = 20
AC² = (- 4 - 4)²+ 1² = 64 + 1 = 65
BC² = (- 4 - 2)² + (1 - 4)² = 36 + 9 = 45
6) en déduire la nature du triangle ABC
d'après la réciproque du th.Pythagore on a; AB²+BC² = AC²
donc on en déduit que le triangle ABC est rectangle en B
7) conclure
le quadrilatère ABCD est parallélogramme et ayant un angle droit en B
donc ABCD est un rectangle
8) soit E'(x ; y) , on écrit EK = KE' ⇔ (0 - (1+a) ; 1/2 - 2) = (x ; y - 1/2)
⇔(- (1+a) ; - 3/2) = (x ; y - 1/2) ⇔ x = - (1 + a) et y - 1/2 = - 3/2
⇔ y = - 3/2 + 1/2 = - 2/2 = - 1
les coordonnées de E'(-(1+a) ; - 1)
9) puisque les diagonales (AC) et (EE') ont le même milieu K donc
AECE' est un parallélogramme
10) déterminer les valeurs de a telles que AECE' soit un rectangle
le triangle AEC
AC² = 65 déjà fait ci-dessus en 5)
AE² = ((1+a) - 4)² + 2² = (a - 3)² + 4 = a² - 6 a + 9 + 4 = a² - 6 a + 13
EC² = (- 4 - (a+1))² + 1 = (- a - 5)² + 1 = a² + 10 a + 26
⇔ a² - 6 a + 13 + a² + 10 a + 26 = 65
⇔ 2 a² + 4 a - 26 = 0 équation du second degré
Δ = 16 + 208 = 224 ⇒ √Δ = 4√14
a1 = - 4 + 4√14)/4 = - 1 + √14
a2 = - 4 - 4√14)/4 = - 1 - √14
Explications étape par étape
