Réponse :
ex37
A(- 3 ; 1) et B(1 ; 3)
1) écrire une équation cartésienne de la droite (Δ) médiatrice du segment (AB)
soit I milieu du segment (AB), la médiatrice (Δ) du segment (AB) est l'ensemble des points M(x ; y) tels que les vecteurs IM et AB sont orthogonaux
les vecteurs IM et AB sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul
donc on écrit : vec(IM)*vec(AB) = 0
I milieu de (AB) ⇒ I((1-3)/2 ; (3+1)/2) = (- 1 ; 2)
vec(AB) = (1+3 ; 3 - 1) = (4 ; 2)
vec(IM) = (x + 1 ; y - 2)
vect(IM)*vec(AB) = XX' + YY' = 0
4(x + 1) + 2 (y - 2) = 0 ⇔ 4 x + 4 + 2 y - 4 = 0 ⇔ 4 x + 2 y = 0
l'équation cartésienne de la médiatrice (Δ) du segment (AB) est :
4 x + 2 y = 0
2) soit C le point de (Δ) d'ordonnée 4, calculer son abscisse xc
4 xc + 8 = 0 ⇔ xc = - 8/4 = - 2
3) prouver que D appartient à (Δ)
vec(AC) et vec(AD) sont orthogonaux ssi vec(AC)*vec(AD) = 0
vec(AC) = (- 2 + 3 ; 4 - 1) = (1 ; 3)
vec(AD) = (x + 3 ; y - 1)
vec(AC)*vectAD) = x + 3 + 3(y - 1) = 0 ⇔ x + 3 y = 0 (AD)
vec(BC) = (- 2 - 1 ; 4 - 3) = (- 3 ; 1)
vec(BD) = (x - 1 ; y - 3)
vec(BC)*vec(BD) = - 3(x - 1) + y - 3 = 0 ⇔ - 3 x + y = 0 (BD)
on écrit : y = - 1/3) x et y = 3 x
3 x = - 1/3 x ⇔ 3 x + 1/3 x = 0 ⇒10/3) x = 0 ⇔ x = 0
et y = 0 donc le point D(0 ; 0) confondu avec l'origine du repère
D (0; 0) vérifie l'équation 4 x + 2 y = 0 donc D ∈ (Δ)
4) quelle est la nature de ABCD
ABCD est un carré car (AB) ⊥ (CD) et (AC) et (AD) forme un angle droit
ainsi que (BC) et (BD) forment aussi un angle droit
Explications étape par étape