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Bonjour, j’ai un dm à faire pour demain en maths, j’ai quelques difficultés avec ce chapitre donc pouvez vous m’aider svp.
Voici le dm -> on veut montrer que racine carré de 2 n’est pas un nombre rationnel. Pour cela, on suppose que racine carré de 2 est un nombre rationnel, c’est à dire qu’il existe deux nombres entiers naturels.
p et q tels que racine carré 2 = p/q.
Où q ≠ 0 et p/q est une fraction irréductible.
1) Montrer que 0 au carré = 2q au carré.
2) en déduire que p au carré est un nombre pair.
3) on peut donc écrire p = 2k, où k appartient à N.
Montrer alors que q au carré est un nombre pair et donc q également.
4) montrer que l’on arrive à une contradiction.
5) comment qualifie-t-on ce type de raisonnement?
Merci.

Sagot :

Ecto220

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

1)on a p/q = √2 donc p = q√2 ⇔ p² = 2 q²

2) p² s'écrit donc sous la forme p = 2k(avec ici k=q², donc k entier) donc p² est pair

3)p² étant pair ,p est pair et peut donc s'écrire p =2k( avec k entier)

on a donc p/q = √2 ⇔ 2k/q = √2 ⇔q = 2k/√2 ⇔ q² = 4k²/2 = 2k²

q² est donc pair ,et donc q est pair

4)on a donc p pair et q pair, donc la fraction p/q peut se simplifier par 2.Or nous étions partis de l'hypothèse que p/q était une fraction irréductible.Nous arrivons donc à une contradiction, qui montre que √2 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers, et n'est donc pas un nombre rationnel

5) ceci est un raisonnement par l'absurde

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