Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
1) P est sur la droite (AB)
donc les vecteurs PA et PB sont colinéaires(j'ai rien pour mettre la flèche sur les vecteurs)
Donc il existe un réel a tel que PA = aPB
même démonstration pour les 2 autres
2) NC = bNA ⇔ NA+AC = bNA ⇔ AC = bNA - NA ⇔ AC = -bAN + AN
⇔ AC = (1-b) AN ⇔ AN = 1/(1-b) AC
Les coordonnées de N sont donc (0;1/(1-b))
3) MB = cMC ⇔ MA+AB = c(MA+AC) ⇔ MA+AB = cMA + cAC
⇔ AB-cAC = cMA-MA ⇔ AB - cAC = -cAM + AM
⇔AB - cAC = (1-c)AM ⇔ AM = 1/(1-c) AB - c/(1-c) AC
Les coordonnées de M sont donc (1/(1-c) ; c/(1-c))
4)coordonnées de P (-a/(1-a) ; 0)
coordonnées de N (0; 1/(1-b))
coordonnées de PN (0-(-a/(1-a) ; 1/(1-b)-0)
⇔PN (a/(1-a) ; 1/(1-b))
5)M ,N et P sont alignés si MN et MP sont colinéaires
MN et MP colinéaires ⇔ a/(1-a) × c/(1-c) = 1/(1-b) × (ac-1)/(1-a)(1-c)
⇔ ac(1-b)/(1-a)(1-c) = (ac-1)/(1-a)(1-c)
⇔ ac-abc = ac-1
⇔-abc = -1
⇔ abc =1
M,N et P sont donc alignés si abc = 1
