Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Exercice 1
a) En tant que fonction polynôme,la fonction f est dérivable sur R
f'(x) =2x-2
b) L'équation de la tangente au point d'abscisse a est de la forme
y = f'(a)(x-a) + f(a)
f'(2) = 2×2-2 = 2 et f(2) = 2²-2×2+5 = 5
Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est :
y = 2(x-2) +5 = 2x-4+5 = 2x+1
c) f(x) -(2x+1) = x²-2x+5-2x-1 = x² -4x +4 = (x-2)²
Un carré est toujours positif, donc f(x)-(2x+1) est positif
d) Comme la différence f(x)-(2x+1) est positive, on peut en conclure que la courbe Cf est toujours au dessus de cette tangente
Exercice 2
a) Soit la fonction f(x) = 1/x
f'(x) = -1/x²
f'(3/2) = -4/9 et f(3/2) =2/3
L'équation de la tangente sera donc : y = -4/9(x-3/2) +2/3
y = -4/9x +12/18 +2/3 ⇔ y = -4/9x + 4/3
b)Si la tangente était parallèle à l'axe des abscisses,son équation serait du type y=c(avec c réel).Si la tangente était parallèle à l'axe des ordonnées,son équation serait du type x=d(avec d réel).Elle est donc sécante en un point à chacun des 2 axes
Calculons les coordonnées des points d'intersection
Pour l'axe des ordonnées y=-4/9×0 +4/3 =4/3
Donc B(0;4/3)
Pour l'axe des abscisses
-4/9x+4/3 = 0 ⇔ -4/9x = -4/3 ⇔ x = 4/3×9/4 = 3
Donc C(3;0)
c) Les coordonnées du point A sont (3/2 ; 2/3)
Calculons les coordonnées du milieu de [BC]
abscisse = (0+3)/2 = 3/2
ordonnée = (0+4/3)/2 = 2/3
Les coordonnées du milieu de [BC] sont les mêmes que celles du point A.Le point A est donc bien le milieu de [BC]
