Réponse : Bonsoir,
1)a) [tex]g'(x)=e^{x}e^{-x}-e^{-x}e^{x}=0[/tex].
g'(x)=0, donc g est constante sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
b) Pour déterminer la constante, on calcule g(0):
[tex]g(0)=e^{0}e^{-0}=1 \times 1=1[/tex].
c) Donc g(x)=1, pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Donc,pour tout x réel, on a:
[tex]g(x)=1\\e^{x}e^{-x}=1\\e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}[/tex].
3)a) [tex]f(e+1)=(e+1-1)e^{-(e+1)}=ee^{-e-1}=e^{1-e-1}=e^{-e}[/tex].
Donc [tex]e+1[/tex] est solution de (E).
b) On étudie les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=e^{-x}-e^{-x}(x-1)=e^{-x}(1-(x-1))=e^{-x}(1-x+1)=e^{-x}(2-x)[/tex].
f'(x) est du signe de 2-x sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
x -∞ 2 +∞
f'(x) + Ф -
f(x) -∞ (croissante) e^(-2) (décroissante) 0
De plus, la solution de (E), e+1>2, elle est donc dans l'intervalle [2:+∞[.
Sur l'intervalle ]-∞;2], la limite de f en -∞ est -∞, et la fonction f est strictement croissante et f(2)=[tex]e^{-2}[/tex].
De plus, On a que [tex]e^{-e} < e^{-2}[/tex], car la fonction exp est croissante.
Donc comme f est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc sur l'intervalle ]-∞;-2], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=[tex]e^{-e}[/tex] a une solution sur l'intervalle ]-∞;2].
C'est la deuxième solution de (E), après qu'on ait vu que l'autre solution e+1 était dans l'intervalle [2;+∞[.
