Réponse :
x⁴ + (m-2) x² + m + 1 = 0
Déterminer les valeurs du nombre m pour lesquelles cette équation a :
a) quatre solutions distinctes
on pose X = x² ; l'équation devient ; X² + (m-2) X + m+1 = 0
pour qu'il y ait 4 solutions distinctes il faut que Δ soit strictement positif
Δ = (m-2)² - 4(m+1) > 0
= m² - 4 m + 4 - 4 m - 4 > 0
= m² - 8 m > 0 ⇔ m(m - 8) > 0
m - ∞ 0 8 + ∞
m - 0 + +
m-8 - - 0 +
P + 0 - 0 +
m < 0 ou m > 8 ⇔ m ∈ ]- ∞ ; 0[U]8 ; + ∞[
b) deux solutions distinctes
il faut que Δ = m(m- 8) = 0 ⇔ m = 0 ou m = 8, on a une solution en X
X = - b/2a = 2/2 = 1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = 1 ou x = - 1
c) trois solutions distinctes
pour qu'il y ait 3 solutions distinctes, il faut que m + 1 = 0 ⇔ m - 1
⇔ x⁴ - 3 x² = 0 ⇔ x²(x² - 3) = 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0 ou x² - 3 = 0
⇔ x = √3 ; x = - √3
Explications étape par étape
