Réponse :
Bonjour,
128) f est définie pour x + 4 # 0 donc x # -4 donc Df = R\{-4} (se lit "R privé de -4)
f'(x) = (u/v)' = u'v - uv' / v²
avec u = 3x - 2 et v = x+4
u' = 3 et v' = 1
d'où f'(x) = 3(x+4) - (3x-2)*1 / (x+4)² = 3x+12 - 3x + 2 / (x+4)² =14 / (x+4)²
A ce propos, cette fonction est strictement croissante car sa dérivé est strictement positive.
Le domaine de dérivabilité ici est le même : R\{-4}
129) Même chose, ici f est définie sur R tout entier car pour tout x appartenant à R, x² + 2 est toujours strictement positif.
u = x² -1
et u' = 2x
v = x² + 2 et v' = 2x
D'où f'(x) = 2x(x²+2) - (x²-1)(2x) / (x² +2)²
2x^3 + 4x - 2x^3 + 2x / (x²+2)²
6x / (x²+2)²
A ce propos la fonction ici est décroissante pour x <0 et croissante pour x > 0
Le domaine de dérivabilité est R tout entier.
130)
f est définie ici pour 2x² - x - 1 # 0
C'est un polynôme donc cherchons les solutions pour 2x² - x - 1 = 0
Δ = b² - 4ac avec b = - 1 a = 2 et c = -1
donc Δ = 1 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9
comme delta est positif on a deux solutions
x1 = -b - √Δ / 2a
et x2 = -b + √Δ/2a
d'où x1 = 1-3 / 4 = -2 /4 = -1/2
et x2 = 1 + 3/4 = 4/4 = 1
Donc la fonction f est définie pour x appartenant à R\{-1/2 ; 1}
Il ne reste plus qu'à dériver maintenant
u = 5x² - 3x +2
u' = 10x - 3
v = 2x² - x -1
v' = 4x - 1
d'où f'(x) = (10x-3)(2x²-x-1) - (5x²-3x+2)(4x-1) / (2x²-x - 1)²
Essayez de développer le numérateur. Le domaine de dérivabilité est le même que celui de la fonction : pour tout x appartenant à R\ {-1/2;1}
Bon courage à vous.
