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Sagot :
Exercice 1 :
Le salaire du contrat "initial" peut de modéliser par la fonction :
f(x) = 0,02x+800
Le salaire du contrat "offensive" peut se modéliser par la fonction :
g(x) = 0,05x+350
Je résous l'inéquation g(x) > f(x) :
0,05x+350 > 0,02x+800
0,03x >450
x > 15000
Le montant des ventes pour que le contrat "offensive" apporte une meilleure rémunération que le contrat "initial" doit être supérieur à 15000€ de vente.
Exercice 2 :
1) Le prix de vente d'une ceinture peut être représenté par l'équation : 28x
La recette de la vente d'une ceinture représente le du coût de production (représenté par 28x) diminué du coût de vente (représenté par la fonction C(x)).
La recette mensuelle peut donc être représentée par la fonction :
R(x) = 28x-C(x)
R(x) = 28x-((x²/5)+975)
R(x) = 28x-(x²/5)-975
R(x) = -(x²/5)+28x-975
2)a) B(x)= (-1/5)(x-70)²+5
B(x) = (-1/5)(x²-140x+4900)+5
B(x) = (-x²/5)+28x-980+5
B(x) = (-x²/5)+28x-975
La fonction B(x) est égale à la fonction R(x). On peut donc dire que la fonction B(x) peut exprimer le bénéfice mensuel.
b) Je dérive la fonction B(x) :
B(x) = -(x²/5)+28x-975
B'(x) = -(2/5)x+28
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines et admet un extremum avant de changer de sens de variation.
Je résous l'équation B'(x) = 0
-(2/5)x+28 = 0
-(2/5)x = -28
x = 70
Le nombre de ceinture que l'artisan doit vendre pour faire un bénéfice maximal est donc de 70.
c) B(x)= (1/5)[25-(x-70)²]
B(x) = (1/5)[25-(x²-140x+4900)]
B(x) = (1/5)(25-x²+140x-4900)
B(x) = (1/5)(-x²+140x-4875)
B(x) = (-x²/5)+28x-975
d) Je résous l'équation B(x) = 0
(-x²/5)+28x-975 = 0
Δ = b²-4ac
Δ = 28²-4*(-1/5)*(-975)
Δ = 4
On a donc Δ > 0, l'équation admet donc deux racines distinctes x1 et x2
x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (-28+√4)/(2*-1/5)
x1 = (-28+2)/(-2/5)
x1 = -26/(-2/5)
x1 = -26*(-5/2)
x1 = 65
x2 = (-b-√Δ)/2a
x2 = (-28-√4)/(2*-1/5)
x2 = (-28-2)/(-2/5)
x2 = -30/(-2/5)
x2 = -30*(-5/2)
x2 = 75
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines.
Donc la production de ceinture est rentable quand x est compris dans ]65;75[.
Le salaire du contrat "initial" peut de modéliser par la fonction :
f(x) = 0,02x+800
Le salaire du contrat "offensive" peut se modéliser par la fonction :
g(x) = 0,05x+350
Je résous l'inéquation g(x) > f(x) :
0,05x+350 > 0,02x+800
0,03x >450
x > 15000
Le montant des ventes pour que le contrat "offensive" apporte une meilleure rémunération que le contrat "initial" doit être supérieur à 15000€ de vente.
Exercice 2 :
1) Le prix de vente d'une ceinture peut être représenté par l'équation : 28x
La recette de la vente d'une ceinture représente le du coût de production (représenté par 28x) diminué du coût de vente (représenté par la fonction C(x)).
La recette mensuelle peut donc être représentée par la fonction :
R(x) = 28x-C(x)
R(x) = 28x-((x²/5)+975)
R(x) = 28x-(x²/5)-975
R(x) = -(x²/5)+28x-975
2)a) B(x)= (-1/5)(x-70)²+5
B(x) = (-1/5)(x²-140x+4900)+5
B(x) = (-x²/5)+28x-980+5
B(x) = (-x²/5)+28x-975
La fonction B(x) est égale à la fonction R(x). On peut donc dire que la fonction B(x) peut exprimer le bénéfice mensuel.
b) Je dérive la fonction B(x) :
B(x) = -(x²/5)+28x-975
B'(x) = -(2/5)x+28
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines et admet un extremum avant de changer de sens de variation.
Je résous l'équation B'(x) = 0
-(2/5)x+28 = 0
-(2/5)x = -28
x = 70
Le nombre de ceinture que l'artisan doit vendre pour faire un bénéfice maximal est donc de 70.
c) B(x)= (1/5)[25-(x-70)²]
B(x) = (1/5)[25-(x²-140x+4900)]
B(x) = (1/5)(25-x²+140x-4900)
B(x) = (1/5)(-x²+140x-4875)
B(x) = (-x²/5)+28x-975
d) Je résous l'équation B(x) = 0
(-x²/5)+28x-975 = 0
Δ = b²-4ac
Δ = 28²-4*(-1/5)*(-975)
Δ = 4
On a donc Δ > 0, l'équation admet donc deux racines distinctes x1 et x2
x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (-28+√4)/(2*-1/5)
x1 = (-28+2)/(-2/5)
x1 = -26/(-2/5)
x1 = -26*(-5/2)
x1 = 65
x2 = (-b-√Δ)/2a
x2 = (-28-√4)/(2*-1/5)
x2 = (-28-2)/(-2/5)
x2 = -30/(-2/5)
x2 = -30*(-5/2)
x2 = 75
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a (ici a = -(1/5)) en dehors de ses racines.
Donc la production de ceinture est rentable quand x est compris dans ]65;75[.
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