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Explications étape par étape:
1- Il s'agit ici d'une implication, supposons que f soit définie en 0, et analysons ce que ça implique. Ainsi f est définie pour tous réels a et b de l'ensemble de définition, avec a et b qui peuvent valoir 0. Plusieurs possibilités se présentent, commençons par regarder le cas a = b = 0.
Alors : ab = 0, f(ab) = f(0) = f(a) + f(b) = 2*f(0) donc f(0) = 0.
Ensuite, on peut étudier le cas a = 0 et b un réel (par symétrie, ça équivaut au cas b = 0 et a un réel) alors :
ab = 0, f(ab) = f(0) = f(0) + f(b) = 0 car f(0) = 0 (on l'a vu) donc f(b) = - f(0) = 0.
Par symétrie on conclut : Si une fonction f définie en 0 vérifie f(ab) = f(a) + f(b) alors f(a) = f(b) = f(0) = 0 donc f(ab) = 0. a et b étant des réels, on conclut que la fonction nulle telle que f(x) = 0 convient.
Pour le reste, il manque des données.