bjr
1)
D est le symétrique de B par rapport à G donc G est le milieu de BD
CI est médiane, donc I est le milieu de AB
Dans le triangle DBA
G est le milieu du côté BD
I est le milieu du côté AB
la droite GI qui joint les milieux de 2 côtés est parallèle au 3e côté AD
C est sur la droite GI d'où
(CI) // (DA)
2)
de même dans le triangle CBD, J et G sont les milieux des côtés BC et BD
La droite GJ est parallèle au 3e côté DC
A est sur la droite GJ donc
(AG) // (DC)
puisque (CI) // (DA) et (AG) // (DC) le quadrilatère GADC qui a les côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.
Dans ce parallélogramme les diagonales AC et DG se coupent en leur milieu. C'est le point O.
B est sur la droite DG. Cette droite BD passe par O milieu de [AC]
BD est la troisième médiane du triangle ABC, elle passe par le point de concours des deux autres : G
(les 3 médianes d'un triangle sont concourantes)
Montrer que BG = 2/3BO
DG = GB (symétrie)
DO = OG diagonales parallélogramme
on a donc
GO = 1/2 BG
BO = BG + GO
= BG + 1/2 BG
BO = 3/2 BG
d'où BG = 2/3 BO
