Bonjour ;
Activité 13 .
a)
1 est racine du polynôme , donc on a :
a + (a + 1) - (b + 9) - (2b - 1) + 14 = 0 ;
donc : a + a + 1 - b - 9 - 2b + 1 + 14 = 0 ;
donc : 2a - 3b + 7 = 0 .
- 2 est racine du polynôme , donc on a :
16a - 8(a + 1) - 4(b + 9) + 2(2b - 1) + 14 = 0 ;
donc : 16a - 8a - 8 - 4b - 36 + 4b - 2 + 14 = 0 ;
donc : 8a - 32 = 0 ;
donc : a = 4 ;
donc : 8 - 3b + 7 = 0 ;
donc : 15 - 3b = 0 ;
donc : b = 5 .
On a donc :
[tex]P(x) = 4x^4+5x^3 - 14x^2 - 9x + 14\ =[/tex]
b)
On a :
[tex]P(x) = 4x^4+ 5x^3 - 14x^2 - 9x + 14[/tex]
= (x² + x - 2)Q(x) .
On a Q(x) un polynôme de second degré car le polynôme
P(x) est de degré 4 et x² + x - 2 est de degré 2 .
On pose : Q(x) = ex² + fx + g avec e un nombre réel non nul
et f et g des nombres réels .
On a : P(x) = (x² + x - 2)Q(x) = (x² + x - 2)(ex² + fx + g)
[tex]= ex^4 + fx^3 + gx^2 + ex^3 + fx^2 + gx - 2ex - 2fx - 2g[/tex]
[tex]= ex^4 + (f + e)x^3 + (g + f)x^2 + (g - 2e - 2f)x - 2g[/tex] ;
donc on a : e = 4 ; f + e = 5 ; g + f = - 14 ;
g - 2e - 2f = - 9 et - 2g = 14 ;
donc : e = 4 ; f = 5 - e = 5 - 4 = 1 et g = - 14/2 = - 7 ;
donc : Q(x) = 4x² + x - 7 .