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Ma542ma
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Bonjour,aidez moi svp : f est une fonction dérivable sur IR
a)Démontrer que si f est paire, alors sa fonction dérivée f' est impaire
b)Démontrer que si f est impaire, alors sa fonction dérivée f' est paire
Voici ce que j'ai fait:
f est paire donc f(x)=f(-x)
f'(-x)=f(-x+h)-f(-x)/h
on remplace f(-x) par f (x)
f'(-x)=f(-(x-h))-f(x)/h
f'-(x)= f(x-h)-f(x)/h
mais comment f'(-x)= f(x-h)-f(x)/h est égale à -f'(x) ?
Merci !

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

a) La fonction f(-x) est la composée :

x ---> -x ---> f(-x).

D'après le théorème de dérivation des fonctions composées:

(f(-x))'=(-x)' f'(-x)=-f'(-x).

Comme f est paire alors, f(-x)=f(x), donc f'(x)=(f(-x))'=-f'(-x).

f'(x)=-f'(-x) équivaut à f'(-x)=-f'(x), en multipliant -1 des deux côtés.

f' est donc impaire.

b) f est impaire, donc f(-x)=-f(x).

Donc (f(-x))'=(-f(x))'.

Et (f(-x))'=-f'(-x), puis (-f(x))'=-f'(x).

Donc -f'(-x)=-f'(x), en multipliant par -1 des deux côtés, ceci équivaut à

f'(-x)=f'(x).

f' est donc paire.

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