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Explications étape par étape:
Equation presque bicarrée, on va utiliser un changement de variable, thêta étant un paramètre. Posons T = X^3 alors ton equation devient :
T^2 - 2cos(theta)*T + 1 = 0.
Ensuite, on determine le discriminant D = 4cos(theta)^2 - 4 = 4 * (cos(theta)^2 - 1) = -4sin(theta)^2 car cos^2 + sin^2 = 1.
A présent 2 possibilités, comme un carré est toujours positif ou nul, soit D < 0 (donc pas de solution, et on s'arrête là) soit D = 0, dans ce cas sin(thêta) = 0 ce qui équivaut à thêta = k*pi avec k appartenant à Z.
Avec thêta = k*pi, il n'y a qu'une racine double solution T = -b/2a = 2 cos(theta) /2 = cos(theta) = cos (k*pi) = 1 si k est pair, et -1 si k est impair.
Au final, il faut donc résoudre X^3 = 1 si k pair, ou X^3 = - 1 si k impair. La fonction cube étant strictement croissante sur R, ces 2 équations n'admettent séparément qu'une unique solution : X = 1 pour k pair, et X = -1 pour k impair.
En résumé : L'équation initiale admet une solution si et seulement si theta = k*pi, avec k dans Z, sinon pas de solution. Ensuite, après résolution, on obtient X = 1 si k pair, et X = -1 si k impair.