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Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
1°/Démontrer que l'équation x²-x-1=0 possède une unique solution positive que nous noterons Φ. Donner la valeur arrondie de Φ à 10 puissance -5 près.
[tex]\Delta = (-1)^{2} - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{5}[/tex] > 0 donc 2 solutions
[tex]X1 = (1 - \sqrt{5})/(2 * 1)[/tex]
[tex]X1 = 1/2 - \sqrt{5}/2[/tex]
X1 ~ -0,61803
[tex]X2 = (1 + \sqrt{5})/2[/tex]
[tex]X2 = 1/2 + \sqrt{5}/2[/tex]
X2 ~ 2,11803
Solution positive : X2
2°/Démontrer que Φ=1+1/Φ
Φ=1+1/Φ
Φ = 1 + 1/[1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]]
Φ = [1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex] + 1]/(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]
Φ = (1/2 + 2/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])/(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])
Φ = (3/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])(1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex]) / [(1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex])(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])]
Φ = (3/4 - [tex]3\sqrt{5}/4[/tex] + [tex]\sqrt{5}/4[/tex] - 5/4) / (1/4 - 5/4)
Φ = (-2/4 - [tex]2\sqrt{5}/4[/tex])/(-4/4)
Φ = (-1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex])/(-1)
Φ = 1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]