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Bonjour, j'ai besoin de votre aide :

1°/Démontrer que l'équation x²-x-1=0 possède une unique solution positive que nous noterons Φ. Donner la valeur arrondie de Φ à 10 puissance -5 près.

2°/Démontrer que Φ=1+1/Φ

Ps:je vous remercie de me répondre avant Jeudi.

Sagot :

Loulakar

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour

1°/Démontrer que l'équation x²-x-1=0 possède une unique solution positive que nous noterons Φ. Donner la valeur arrondie de Φ à 10 puissance -5 près.

[tex]\Delta = (-1)^{2} - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{5}[/tex] > 0 donc 2 solutions

[tex]X1 = (1 - \sqrt{5})/(2 * 1)[/tex]

[tex]X1 = 1/2 - \sqrt{5}/2[/tex]

X1 ~ -0,61803

[tex]X2 = (1 + \sqrt{5})/2[/tex]

[tex]X2 = 1/2 + \sqrt{5}/2[/tex]

X2 ~ 2,11803

Solution positive : X2

2°/Démontrer que Φ=1+1/Φ

Φ=1+1/Φ

Φ = 1 + 1/[1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]]

Φ = [1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex] + 1]/(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]

Φ = (1/2 + 2/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])/(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])

Φ = (3/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])(1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex]) / [(1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex])(1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex])]

Φ = (3/4 - [tex]3\sqrt{5}/4[/tex] + [tex]\sqrt{5}/4[/tex] - 5/4) / (1/4 - 5/4)

Φ = (-2/4 - [tex]2\sqrt{5}/4[/tex])/(-4/4)

Φ = (-1/2 - [tex]\sqrt{5}/2[/tex])/(-1)

Φ = 1/2 + [tex]\sqrt{5}/2[/tex]

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