À deux entiers naturels a et b, non nuls, la division euclidienne associe un quotient q et un reste r, tous deux entiers naturels, vérifiant :
a = bq + r
0 ≤ r < b.
Il existe un unique couple (q, r) d'entiers naturels vérifiant ces deux propriétés.
L'affirmation de l'existence et de l'unicité de r et de q est appelée : Théorème de la division euclidienne pour les entiers naturels.
Quelques précisions...
Dans l'écriture a = b × q + r, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
Le principe de la division euclidienne est de déterminer "combien de fois le diviseur (b) entre dans le dividende (a)" :
C'est ce nombre de "fois" qui constitue le quotient (q).
Ce qui reste est tout simplement nommé le reste (r).
Ce reste est plus petit que b car dans le cas contraire on pourrait mettre une "fois" de plus le diviseur dans le dividende !
Ainsi deux entiers naturels a et b, avec b non nul, la division euclidienne produit deux uniques entiers naturels: un quotient q et un reste r vérifiant l'égalité et l'inégalité suivantes:
a = bq + r et r < b
Penser à contrôler chaque fois l'exactitude de la division en vérifiant l'égalité et l'inégalité qui régissent la division euclidienne !
