Bonsoir,
Exercice 1
1) Comme ton énoncé ne donne pas de graphique, j'en place un en pièce jointe.
Dans ce graphique, les fonctions sont définies sur R.
La parabole (fonction carré) est au-dessus de la droite (fonction affine) pour x ∈ ]-inf ; -1] U [2 ; +inf[.
S = ] -inf ; -1] U [2 ; +inf [
2) x² ≥ x + 2 <==> x² - x - 2 ≥ x + 2 - x - 2
<==> x² - x - 2 ≥ 0.
3) (x + 1)(x - 2) = x² - 2x + x - 2
= x² - x - 2
4) (x + 1)(x - 2) ≥ 0
Tableau de signes:
racines : x + 1 = 0 ==> x = -1
x - 2 = 0 ==> x = 2
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&-1&&2&&+\infty\\ x+1&&-&0&+&+&+&\\ x-2&&-&-&-&0&+&\\ (x+1)(x-2)&&+&0&-&0&+& \\\end{array}\\\\\\(x+1)(x-2)\ge0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[\\\\\\S=]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[\\\\[/tex]
5) x² ≥ x + 2 <==> x² - x - 2 ≥ 0
<==> (x + 1)(x - 2) ≥ 0
S = ] -inf ; -1] U [2 ; +inf [ en utilisant la question 4)
Exercice 2
[tex](x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{-2+1}{2};\dfrac{-3+3}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{-1}{2};0)[/tex]
[tex](x_J;y_J)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\(x_J;y_J)=(\dfrac{1+7}{2};\dfrac{3+5}{2})\\\\(x_J;y_J)=(4;4)[/tex]
[tex](x_K;y_K)=(\dfrac{x_C+x_D}{2};\dfrac{y_C+y_D}{2})\\\\(x_K;y_K)=(\dfrac{7+9}{2};\dfrac{5-2}{2})\\\\(x_K;y_K)=(8;\dfrac{3}{2})[/tex]
[tex](x_L;y_L)=(\dfrac{x_D+x_A}{2};\dfrac{y_D+y_A}{2})\\\\(x_L;y_L)=(\dfrac{9-2}{2};\dfrac{-2-3}{2})\\\\(x_L;y_L)=(\dfrac{7}{2};-\dfrac{5}{2})[/tex]
D'où :
[tex]\vec{IJ}:(x_J-x_I;y_J-y_I)\\\\\vec{IJ}:(4+\dfrac{1}{2};4-0)\\\\\vec{IJ}:(\dfrac{8}{2}+\dfrac{1}{2};4-0)\\\\\vec{IJ}:(\dfrac{9}{2};4)\\\\\\\\\vec{LK}:(x_K-x_L;y_K-y_L)\\\\\vec{LK}:(8-\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2})\\\\\vec{LK}:(\dfrac{16}{2}-\dfrac{7}{2};\dfrac{8}{2})\\\\ \vec{LK}:(\dfrac{9}{2};4)
[/tex]
On en déduit que : [tex]\vec{IJ}=\vec{LK}[/tex]
Par conséquent le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
