Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) Le joueur perd 1 euro, si il tire une boule blanche puis une boule rouge, ou une boule rouge en premier, et une boule blanche en deuxième.
Or la probabilité de tirer une boule blanche est [tex]\displaystyle P(B)=\frac{10}{10+n}[/tex]
Et la probabilité de tirer une boule rouge est [tex]\displaystyle P(R)=\frac{n}{10+n}[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle P(X=-1)=\frac{10}{10+n} \times \frac{n}{9+n}+\frac{n}{10+n} \times \frac{10}{10+n-1}\\=\frac{10n}{(10+n)(9+n)}+\frac{10n}{(10+n)(9+n)}=\frac{20n}{(10+n)(9+n)}[/tex]
2) Les autres possibilités sont:
i) Le joueur tire deux boules rouges, dans ce cas, il perd 6 euros.
Et cette probabilité vaut:
[tex]\displaystyle P(X=-6)=\frac{n}{10+n} \times \frac{n-1}{10+n-1}=\frac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)}[/tex]
ii) Le joueur tire deux boules blanches, dans ce cas, il gagne 4 euros.
Et dans ce cas, cette probabilité vaut:
[tex]\displaystyle P(X=4)=\frac{10}{10+n} \times \frac{9}{9+n}=\frac{90}{(10+n)(9+n)}[/tex]
Donc la loi de probabilité de X est:
X -6 -1 4
P(X)P(X=-6)=[tex]\displaystyle \frac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)}[/tex] P(X=-1)=[tex]\displaystyle \frac{20n}{(10+n)(9+n)}[/tex] P(X=4)=[tex]\displaystyle \frac{90}{(10+n)(9+n)}[/tex]
3)On a:
[tex]\displaystyle E(X)=-6 \times \frac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)}-1 \times \frac{20n}{(10+n)(9+n)}+4 \times \frac{90}{(10+n)(9+n)}\\=\frac{-6n(n-1)-20n+360}{(10+n)(9+n)}=\frac{-6n^{2}+6n-20n+360}{(10+n)(9+n)}=\frac{-6n^{2}-14n+360}{(10+n)(9+n)}[/tex]
4)a) Le jeu est équitable, si E(X)=0, donc que:
[tex]-6n^{2}-14n+360=0[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle \Delta=(-14)^{2}-4 \times (-6) \times 360=8836\\n_{1}=\frac{14-\sqrt{8836}}{-12}=\frac{14-94}{-12}=\frac{-80}{-12}=\frac{20}{3}\\n_{2}=\frac{14+\sqrt{8836}}{-12}=\frac{14+94}{-12}=\frac{108}{-12}=-9[/tex]
n est un entier naturel, donc on exclut la solution [tex]n_{2}=-9[/tex].
L'autre solution [tex]n_{1}=\frac{20}{3} \approx 6,67[/tex], n'est pas un nombre entier, donc il n'existe pas de valeur de n, tel que le jeu est équitable.
b) Comme le dénominateur de E(X) est positif, car n est un entier naturel, alors E(X) est du signe du numérateur [tex]-6n^{2}-14n+360[/tex].
Donc le jeu est favorable au joueur si [tex]-6n^{2}-14n+360 > 0[/tex].
Il faut donc étudier le signe de ce trinôme du second degré.
On a vu précédemment, que le discriminant de ce trinôme était strictement positif, donc:
n 2 [tex]\frac{20}{3}[/tex] +∞
-6n²-14n+360 + Ф -
Donc [tex]E(X) > 0[/tex], pour [tex]n \in [2;\frac{20}{3}[[/tex], donc le jeu est favorable au joueur pour n=2, 3, 4, 5, 6.
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