PREMIER PROBLEME
1) Justifier que BC = 5 cm
On a un triangle ABC rectangle en A. Je te propose de calculer la mesure de BC avec le théorème de Pythagore : la somme du carré de l'hypoténuse est égales à la somme du carré des deux autres côtés
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = √25
BC = 5
La mesure de BC est de 5 cm.
2)- La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
Par conséquent l'angle P de APM est un angle droit.
- La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.
Par conséquent l'angle Q de de AQM est un angle droit.
- ABC est un triangle rectangle en A donc l'angle PAQ mesure 90°
Le quadrilatère APMQ a trois angles droits donc c'est un rectangle.
3)- Nous avons deux droites perpendiculaires (PM) et (AC) à une même droite droite (AB) alors (PM) et (AC) sont parallèles.
D'autre part la droite (AP) et (MC) se coupent en B.
On peut maintenant établir les rapports de proportionnalité grâce au théorème de Thalès puisque nous avons trois points alignés B, M et C puis B, P et A dans le même sens et deux droites parallèles (PM) // (AC)
d'où [tex] \frac{BP}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{PM}{AC} [/tex]
Ainsi je prouve l'égalité des quotients :
[tex] \frac{BP}{3} = \frac{BM}{5} = \frac{PM}{4} [/tex]
4) On suppose à présent que BM = 2 cm
a) On sait que [tex] \frac{BP}{3} = \frac{2}{5} = \frac{PM}{4} [/tex]
Donc [tex] \frac{BP}{3} = \frac{2}{5}
BP = [tex] \frac{2 * 3}{5} [/tex]
BP = [tex] \frac{6}{5} [/tex]
BP = 1,2 cm
La mesure de BP est de 1,2 cm
\frac{2}{5} [/tex] = [tex] \frac{PM}{4} [/tex]
PM = [tex] \frac{2 * 4}{5} [/tex]
PM = [tex] \frac{8}{5} [/tex]
PM = 1,6 cm
La mesure de PM est de 1,6 cm
P ∈ [AB] donc AP = AB - BP
AP = 3 - 1,2
AP = 1,8 cm
La mesure de AP est de 1,8 cm
b) L'aire APMQ = AP × PM
= 1,8 × 1,6
= 2,88
L'aire du rectangle APQM est de 2,88 cm²
Pour les châteaux de cartes
On remarque que le château commence avec
2 cartes au 1er rang
7 cartes au 2ème rang soit +5 cartes
15 cartes au 3ème rang soit +8 cartes
26 cartes au 4ème rang soit +11 cartes
40 cartes au 5ème rang soit + 14 cartes
57 cartes au 6ème rang +17
77 cartes au 7ème rang +20
100 cartes au 8ème rang +23
126 cartes au 9ème rang +26
155 cartes au 10ème rang +29
187 cartes au 11ème rang + 32
222 cartes au 12ème rang + 35
260 cartes au 13ème rang +38
301 cartes au 14ème rang +41
345 cartes au 15ème rang + 44
En examinant l'ajout des cartes pour passer au rang supérieur on observe que
le niveau 2 est égal au niveau 1 auquel on ajoute 2 triangles de 3 cartes -1
Le niveau 3
est égal au niveau 2 + une rangée de cartes de 3 triangles* de 3 cartes-1
ainsi le niveau
3 est égal au niveau 1 + niveau 2 + (1+2+3) x 3 - 3
Si tel est le cas pour le niveau 5 on devrait avoir (1+2+3+4+5)x3 -5= 40 cartes
pour le 15ème rang => (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)×3 -15 = 345 cartes
(regarde la liste et tu verras que l'on a bien 40 cartes au 5ème rang et 345 au 15ème rang) a priori mon système fonctionne.
(*1 triangle = 3 cartes)
J'en conclus que pour n rangs on devrait avoir un nombre de cartes de
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 ...+n) x 3 - n
