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Sagot :
1) Dresser en justifiant le tableau de variation de la fonction f définie sur ) 0 ; +∞( par
f(x) = lnx÷x
f'(x)=(1/x*x-ln(x)*1)/x²=(1-ln(x))/x²
f'(1/e)=ln(e)-1=0
f'(x)<0 si x>e
f'(x)>0 si x<e
f est croissante sur ]0;e]
f est croissante sur [e;+inf[
2) Soit n un nombre entier non nul Comparer en justifiant les nombres n puissance n+1 et (n+1)puissance n
n^(n+1)=exp(n+1)*ln(n))
(n+1)^n=exp(n*ln(n+1))
or ln(n+1)/(n+1) < ln(n)/n si n>3
donc n*ln(n+1) < (n+1)*ln(n) si n>3
donc (n+1)^n < n^(n+1) si n>3
et (n+1)^n > n^(n+1) si 0<n<3
f(x) = lnx÷x
f'(x)=(1/x*x-ln(x)*1)/x²=(1-ln(x))/x²
f'(1/e)=ln(e)-1=0
f'(x)<0 si x>e
f'(x)>0 si x<e
f est croissante sur ]0;e]
f est croissante sur [e;+inf[
2) Soit n un nombre entier non nul Comparer en justifiant les nombres n puissance n+1 et (n+1)puissance n
n^(n+1)=exp(n+1)*ln(n))
(n+1)^n=exp(n*ln(n+1))
or ln(n+1)/(n+1) < ln(n)/n si n>3
donc n*ln(n+1) < (n+1)*ln(n) si n>3
donc (n+1)^n < n^(n+1) si n>3
et (n+1)^n > n^(n+1) si 0<n<3
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