Bonsoir,
Exercice 4
1) Faux.
[tex]\sqrt{3}+i=2e^{i\dfrac{\pi}{6}}\ \ et\ \ \sqrt{3}-i=2e^{-i\dfrac{\pi}{6}}[/tex]
[tex](\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=(2e^{i\dfrac{\pi}{6}})^6+(2e^{-i\dfrac{\pi}{6}})^6\\\\(\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=2^6e^{6\times i\dfrac{\pi}{6}}+2^6e^{-6\times i\dfrac{\pi}{6}}\\\\(\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=64e^{i\pi}+64e^{-i\pi}\\\\(\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=64\times(-1)+64\times(-1)\\\\(\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=-64-64\\\\(\sqrt{3}+i)^6+(\sqrt{3}-i)^6=-128[/tex]
2) Faux.
Soit z = x + iy.
Alors [tex]|z-1|=|\bar{z}-i|\\\\|x+iy-1|=|x-iy -i|\\\\|(x-1)+iy|=|x-i(y+1)|\\\\(x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\\\\x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2+2y+1\\\\x^2-x^2+1-1+y^2-y^2-2x=2y\\\\2y=-2x\\\\y=-x[/tex]
3) Faux.
[tex]|z_A-z_B|=BA\ \ et\ \ |z_A-z_C|=CA\\\\\dfrac{z_A-z_B}{z_A-z_C}=2i\\\\|\dfrac{z_A-z_B}{z_A-z_C}|=|2i|\\\\\dfrac{|z_A-z_B|}{|z_A-z_C|}=2\\\\|z_A-z_B|=2|z_A-z_C|\\\\BA=2CA[/tex]
Le triangle ABC n'est pas isocèle en A.
4) Vrai.
z est un nombre complexe de module 1 ==> [tex]z=e^{i\theta}[/tex]
[tex]\dfrac{z^2-1}{z}=\dfrac{(e^{i\theta})^2-1}{e^{i\theta}}\\\\\dfrac{z^2-1}{z}=\dfrac{(e^{i\theta})^2}{e^{i\theta}}-\dfrac{1}{e^{i\theta}}\\\\\dfrac{z^2-1}{z}=e^{i\theta}-e^{-i\theta}\\\\\dfrac{z^2-1}{z}=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))-(\cos(\theta)-i\sin(\theta))\\\\\dfrac{z^2-1}{z}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)-\cos(\theta)+i\sin(\theta)\\\\\dfrac{z^2-1}{z}=2i\sin(\theta)[/tex]
Exercice 5
1) Résoudre l'équation :
[tex]\dfrac{z}{|z|}(2-|z|)=0\\\\\dfrac{z}{|z|}=0\ \ ou\ \ 2-|z|=0\\\\\dfrac{z}{|z|}=0\Longrightarrow\ impossible\ \ car\ \ z\neq0\\\\2-|z|=0\Longrightarrow|z|=2\\\\\Longrightarrow OM=2[/tex]
Donc l'ensemble cherché est un cercle de centre O et de rayon 2.
2) Résoudre l'équation :
[tex]\dfrac{z}{|z|}(2-|z|)=z\\\\\dfrac{1}{|z|}(2-|z|)=1\ \ (car\ \ z\neq0)\\\\2-|z|=|z|\\\\2=2|z|\\\\|z|=1\\\\OM=1[/tex]
Donc l'ensemble C est un cercle de centre O et de rayon 1.
3) a)[tex]z'=\dfrac{z}{|z|}(2-|z|) [tex]z'=\dfrac{z}{|z|}(2-|z|)\\\\z'=(\dfrac{2}{|z|}-\dfrac{|z|}{|z|})\times z\\\\z'=(\dfrac{2}{|z|}-1})\times z[/tex]
Sachant que z est l'affixe de OM et z' est l'affixe de OM', nous en dédisons que
[tex]\vec{OM'}=(\dfrac{2}{|z|}-1})\vec{OM}[/tex]
Les vecteurs OM et OM' sont colinéaires car il existe une valeur k telle que [tex]\vec{OM'}=k.\ \vec{OM}[/tex] [tex](k=\dfrac{2}{|z|}-1})[/tex]
b) I est le milieu de [MM']
[tex]z_I=\dfrac{1}{2}(z+z')\\\\z_I=\dfrac{1}{2}[z+(\dfrac{2}{|z|}-1})z]\\\\z_I=\dfrac{1}{2}[z+\dfrac{2z}{|z|}-z]\\\\z_I=\dfrac{1}{2}\times(\dfrac{2z}{|z|}\\\\z_I=\dfrac{z}{|z|}[/tex]
c) [tex]z_I=\dfrac{z}{|z|}\\\\z_I=\dfrac{1}{|z|}\times z\\\\\\\vec{OI}=\dfrac{1}{|z|}\times \vec{OM}\\\\\\\vec{OI}=k\times \vec{OM}\ avec\ \ k=\dfrac{1}{|z|}>0[/tex]
Les vecteurs OI et OM sont donc colinéaires et de même sens puisque k > 0.
Par conséquent, [tex](\vec{OI},\vec{OM})=0(modulo\ 2\pi)[/tex]
