Bonsoir,
Il faut montrer que [tex]1+2\cos(\dfrac{2\pi}{5})+2\cos(\dfrac{4\pi}{5})=0[/tex]
Calculons les racines du polynôme [tex]X^4+X^3+X^2+X+1.[/tex]
Ce polynôme est la somme des 5 premiers termes d'une suite goémtrique de raison X et dont le premier terme est 1.
[tex]X^4+X^3+X^2+X+1=1\times\dfrac{1-X^5}{1-X}\\\\X^4+X^3+X^2+X+1=\dfrac{X^5-1}{X-1}[/tex]
[tex]X^4+X^3+X^2+X+1=0\\\\\dfrac{X^5-1}{X-1}=0\\\\X^5-1=0\\\\X^5=1[/tex]
Les racines du polynôme [tex]X^4+X^3+X^2+X+1[/tex] sont donc les racines 5ièmes de 1, sauf la valeur 1 qui est exclue car le dénominateur est nul si X = 1.
Or les racines 5ièmes non réelles de 1 sont [tex]e^{i\dfrac{2\pi}{5}},e^{i\dfrac{4\pi}{5}},e^{i\dfrac{6\pi}{5}},e^{i\dfrac{8\pi}{5}}[/tex]
La valeur de X égale à [tex]e^{i\dfrac{2\pi}{5}}[/tex] annule donc le polynôme.
D'où, [tex](e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^4+(e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^3+(e^{i\dfrac{2\pi}{5}})^2+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\e^{i\dfrac{8\pi}{5}}+e^{i\dfrac{6\pi}{5}}+e^{i\dfrac{4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\e^{i\dfrac{-2\pi}{5}}+e^{i\dfrac{-4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{4\pi}{5}}+e^{i\dfrac{2\pi}{5}}+1=0\\\\\cos(\dfrac{-2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{-2\pi}{5})+\cos(\dfrac{-4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{-4\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{4\pi}{5})\\+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{2\pi}{5})=0[/tex]
[tex]\cos(\dfrac{2\pi}{5})-i\sin(\dfrac{2\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})-i\sin(\dfrac{4\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{4\pi}{5})\\+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{2\pi}{5})=0\\\\\\\boxed{2\cos(\dfrac{4\pi}{5})+2\cos(\dfrac{2\pi}{5})+1=0}[/tex]
