Réponse :
Explications étape par étape
Ex114
1a) Df=R* car si x=0, e^x=1 donc e^x-1=0 et la division par 0 est impossible
b) Dérivée f'(x)=[(e^x)(e^x -1)-(e^x)(e^x)]/(e^x-1)²=-e^x/(e^x-1)²
cette dérivée est tjrs <0 donc f(x) est décroissante
avant de dresser le tableau il faut déterminer les limites
Limites
si x tend vers -oo, f(x) tend vers 0-
si x tend vers +oo, f(x) tend vers 1+
si x tend vers 0-, f(x) tend vers -oo
si x tend vers 0+, f(x) tend vers+oo
Tableau
x -oo 0 +oo
f'(x)...................-.........................II................-..............................
f(x)0-..........décroi..............-ooII...........décroi.................1+
Les droites d'équation y=0 et y=1 sont des asymptotes horizontales et la droite x=0 une asymptote verticale.
2) s'il y a une (des ) tangent(s) // à la droite y=-x+5
leur coefficient est =-1
Ce sont les solutions de f(x)=-1 soit -e^x/(e^x-1)²=-1 ou [-e^x+(e^x-1)²]/(e^x-1)²=0
soit -e^x+(e^x)²-2e^x+1=0
(e^x)²-3e^x+1=0 après changement de variable X²-3X+1=0
delta=9-4=5
solutions X1=(3-V5)/2 et X2=(3+V5)/2
donc e^x=(3-V5)/2 solution x=ln[(3-V5)/2]=ln(3-V5)-ln2
e^x=(3+V5)/2 solution x=ln[(3+V5)/2]=ln(3+V5)-ln2
je regarde l'autre exercice dans la soirée.
