Réponse : Bonjour,
1) [tex](u_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison r avec [tex]r \ne 0[/tex].
Alors :
[tex]u_{200}=u_{100}+100r\\u_{100}=u_{200}-100r\\u_{300}=u_{200}+100r\\u_{100}+u_{300}=u_{200}-100r+u_{200}+100r=2 \times u_{200}[/tex]
Donc l'affirmation est VRAIE.
2) [tex](w_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison q et à termes strictement positifs.
Alors:
[tex]\displaystyle w_{n+1}=w_{n} \times q\\w_{n}=w_{n-1} \times q\\ w_{n-1}=\frac{w_{n}}{q}\\w_{n-1} \times w_{n+1}=\frac{w_{n}}{q} \times w_{n} \times q=w_{n}^{2}\\w_{n}=-\sqrt{w_{n-1} \times w_{n+1}} \quad ou \quad w_{n}=\sqrt{w_{n-1} \times w_{n+1}}[/tex]
Puisque ([tex]w_{n}[/tex]) est à termes strictement positifs, on ne retient que:
[tex]w_{n}=\sqrt{w_{n-1} \times w_{n+1}}[/tex]
L'affirmation est donc VRAIE.
3) [tex](h_{n})[/tex] est la suite géométrique de raison -2, telle que [tex]h_{1}=-4[/tex], donc:
[tex]\displaystyle h_{n}=h_{1} \times q^{n-1}=-4 \times (-2)^{n-1}\\h_{n}=-262144\\-4 \times (-2)^{n-1}=-262144\\(-2)^{n-1}=\frac{262144}{4}=65536[/tex]
Le nombre n tel que [tex]2^{n}=65536[/tex] est n=16.
Donc n-1=16, donc n=17.
Vérification:
[tex]h_{17}=-4 \times (-2)^{16}=-4 \times 2^{16}=-262144[/tex]
L'affirmation est donc VRAIE.