On considère la suite (un) définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n :
un+1= (1+3un)/(3+un)
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs et que Un>1.
a. Établir que pour tout entier naturel n on a : un+1 - un = (1 - un) (1+un)/(3+un)
u(n+1)-u(n)=(1+3u(n))/(3+u(n))-u(n)
=(1+3u(n)-3u(n)-u(n)²)/(3+u(n))
=(-u(n)²+1)/(3+u(n))
=(1-u(n))(1+u(n))/(3+u(n)
b. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
u(n)>1 donc 1-u(n)<0 et 1+u(n)>0
donc (1+u(n))(1-u(n))<0
donc u(n+1)-u(n)<0
donc u est décroissante
